Chủ đề này có 1 trả lời

[Hoang Tung 126]

       Cho a,b,c,d là các số thực dương 

   

   CMR:$\frac{a^3}{(a+b)(a+c)(a+d)}+\frac{b^3}{(b+c)(b+d)(b+a)}+\frac{c^3}{(c+a)(c+b)(c+d)}+\frac{d^3}{(d+a)(d+b)(d+c)}\geq \frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 27-06-2014 - 18:44

[vanhuongsky]

Do cùng bậc nên giả sử a+b+c+d=4.

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si có 

$(a+b)(a+c)(a+d)\leq (\frac{3a+b+c+d}{3})^3= (\frac{2a+4}{3})^3$

Tương tự như vậy thì ta cần chứng minh :

$(\frac{a}{a+2})^3+(\frac{b}{b+2})^3+(\frac{c}{c+2})^3+(\frac{d}{d+2})^3\geq \frac{4}{27}$

Đến đây ta sử dụng với 0<x<4 có :

$(\frac{x}{x+2})^3\geq 2(x-1)+\frac{1}{27}$

Bất đẳng thức cuối tương đương $(x-1)^2(-2x^{2}+12x+8)\geq 0$ ( đúng do 0<x<4 )

Vậy bài toán được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanhuongsky: 27-06-2014 - 21:19