Chủ đề này có 11 trả lời

[vanhuongsky]

Cho N, P lần lượt là tập số nguyên dương và tập số nguyên tố, k là số nguyên dương cho trước. Kí hiệu S=$\left \{ n\epsilon N : |n-p|\leq k ;p\epsilon P \right \}$. Xét hàm số f: S↦S sao cho : f(m)+f(n) là ước của $(m+n)^{k}$ với mọi m;nϵS. Gọi T là tập hữu hạn các số nguyên dương mà mỗi số có một ước chính phương khác 1 sao cho với mỗi số nguyên n đều tồn tại trong T ít nhất một phần tử q để ƯCLN(q;n)=f(1) hoặc ƯCLN(q;n)=f(q). Chứng minh rằng tồn tại  hai phần tử x;y $\epsilon S\cap T$  để ƯCLN(f(x);f(y)) là số nguyên tố.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanhuongsky: 01-07-2014 - 02:09

[Karl Heinrich Marx]

Bài toán này có vẻ như là sản phẩm của một bạn nào đấy bằng cách gộp 1 số bài toán lại, nhưng cụ thể tập $S$ được định nghĩa như thế nào, có chắc là sẽ chứa số 1 không để mà có $f(1)$. Nếu đã có $f(1)$ và $f(q)$ thì $1,q$ đều thuộc $S$, chọn $n \in T$ và đã có $q \in T$ thì rõ ràng bài toán là hiển nhiên còn gì?

[vanhuongsky]

Định nghĩa $S$ như trên ạ. Chả hiển nhiên gì vì nếu $q$ không thuộc $S$ thì không tồn tại $f(q)$ tức là chỉ có $(q;n)=f(1)$ cái này cũng được. Dễ thấy 1 thuộc $S$ là hiển nhiên. |1-2|=1 $\leq$ k. À em nhầm cái cuối là f(f(z)) ạ. đã sửa đề.

[Karl Heinrich Marx]

Em giải thích a mới hiểu định nghĩa tập S, bây giờ thế này, tập $T$ hữu hạn nên tồn tại một số nguyên tố $p$ mà nguyên tố cùng nhau với tất cả các số trong $T$, do đó $(p,q)=1$ với mọi số $q \in T$ nên ta phải có 1 số $q_0 \in T$ nào đó để $f(q_0)=1$ hoặc $f(1)=1$.

Gọi J là tập gồm các số thuộc tập T thêm vào một phần tử là số 1. Và $d$ là ước chung lớn nhất của các số trong $T$, khi đó cho $n=d$ thì phải tồn tại một số $d_0 \in J$ mà $f(d_0)=d$

Nếu tồn tại $q_0\in T$ mà $f(q_0)=1$ khi đó gọi $t$ là tích tất cả các số trong $t$. Giả sử $T$ có $m$ phần tử thì tập ${(t,q),q \in T}$ có $m$ phần tử khác nhau lớn hơn 1 và tập này cũng chính là tập $T$. Mà nó chỉ có thể nhận giá tị trong tập ${f(q),q \in T}$ hợp với $f(1)$ cái này có $m+1$ phần tử mà trong đó $f(q_0)=1$ nên buộc $f(1) \in T$.

Nếu $f(1)=1$ thì ta phải có $T={f(q),q\in T}$. Tóm lại là ta phải có ${f(q),q \in T}$ hợp với $f(1)$ =J. Như vậy mọi $j \in J$ thì $f(j) \in J$, $f$ là một song ánh trên $J$. Và qua đó ta phải có luôn $f(q)$ tồn tại với mọi phần tử $q \in T$, có nghĩa là mọi phần tử của $T$ đều nằm trong $S$, suy ra $J$ là con $S$. 
Đến đây chỉ cần chọn 2 phần tử thuộc $T$ có ước chung lớn nhất là $d$. Chọn $z \in J$ sao cho $f(z)=d_0$ vậy là có đpcm.

[vanhuongsky]

Tập S là tập các số n sao cho tồn tại số nguyên tố p để |n-p| nhỏ hơn bằng k. Cách giải này có ý tưởng rất hay ạ. Cơ mà còn mỗi câu cuối ( chọn 2 phần tử trong T để ước chung lớn nhất bằng d ) liệu có được không ??? Em đâm đầu đi xác định hàm f(x) vì dự là f(x)=x. 

[Karl Heinrich Marx]

Đúng là anh hơi nhầm một tí chỗ đấy, thực ra không cần đến sự xuất hiện của $d$. Chỉ cần lấy $k$ bất kì thuộc $T$ thì tồn tại $q$ thuộc $T$ để $(k,q)=f(1)$ hoặc $(k,q)=f(q)$, $f$ đã là song ánh trên $J$ thì chỉ cần tùy vào 2 cái trên mà chọn $z=f^{-1}(1)$ hoặc $z=f^{-1}(q)$ thôi. Bài toán này cho hơi thừa ở định nghĩa tập $S$ và định nghĩa hàm $f$, ta chỉ sử dụng tính chất của hàm $f$ đối với $T$ thôi.

[vanhuongsky]

OK. Bài toán được giải quyết. Cơ mà có nên dừng lại ở đây. Ta nhận thấy theo các giải này thì mới sử dụng đúng một tính chất là T là con của S mà chưa dùng gì đến tính chất hàm f(x).Em thử sửa lại kết luận bài toán theo hướng đi T là con của S và cần nhiều tới hàm f hơn nhưng không biết có đúng không ạ. Hi vọng sẽ là bài toán thách thức mới và có hướng đi lạ hơn.

[Karl Heinrich Marx]

Em có sửa đề toán lại thế này thì cũng chẳng có gì mới cả.

Thứ nhất là nếu $f(x)=x$ và tập $T$ toàn những số nguyên tố thì sao, làm sao mà có $(f(x),f(y))$ là một số nguyên tố được. Nếu em thêm vào đề là ưcln của 2 số $f(x),f(y)$ là 1 số nguyên tố hoặc bằng 1 thì cũng k cần sử dụng đến những cái em đã nói đâu.

Nếu tồn tại $q_0$ thuộc $T$ để $f(q_0)=1$ thì hiển nhiên với số $q$ nào đó thuộc $T$ ta cũng có $(f(q_0);f(q))=1$

Nếu $f(1)=1$, như chứng minh ở trên thì ta sẽ có $f$ sẽ là song ánh trên $T$, khi đấy nếu có 2 số nguyên tố cùng nhau trong $T$ thì chỉ cần lấy hàm ngược 2 số này là xong. Nếu ước chung lớn nhất của các số này là $d$ thì xét 1 số nguyên tố $p$ là ước của $d$ khi đó tồn tại $q$ thuộc $T$ để $(q,p)=f(q)=p$. Như vậy lấy 1 số $q_1$ trong $T$ thì $f^{-1}(q_1) \in T$ và $(f(q),f(f^{-1}(q_1)))=p$ là số nguyên tố.

Em có chế tạo thêm thắt thế nào đi nữa, sau này khi học nhiều hơn em xem lại sẽ thấy đây là 1 bài toán xấu xí, em có thể đi hỏi 1 số anh chị học toán khác là biết. Về cơ bản thách thức là 1 thứ gì đó mang ý nghĩa tính chất đòi hỏi ta chứng minh, nó đến một cách tự nhiên, những câu hỏi ta đặt ra trong quá trình giải toán chứ k phải lồng ghép nhiều bài lại với nhau. Đọc bài toán thì sẽ thấy rõ 2 phần 1 phần là xác định hàm $f$, sau đó lại dựa vào kq đó để đặt ra điều kiện bên dưới. Em phải hiểu là nếu bỏ đi phần đầu cách xác định hàm $f$ chỉ nêu ra tính chất của $f$ từ tập $T$ đã vẽ ra tập nguồn và tập đích của $f$ rồi, bây giờ nếu cứ chỉ vòng quanh ưcln liên quan đến $f$ và $T$ thì những đk trên không còn quan trọng nữa.

Bây giờ a đặt ra 1 bài toán ntn để nghiên cứu xem hàm $f$ trên $T$ sẽ ntn nếu $T$ vô hạn và $f(n) \ne n$. Cho tập $T$ là một tập vô các số nguyên dương lớn hơn $1$. sao cho $f(n)>1$ và $f(n) \ne n$  với mọi $n$ thuộc $T$ và với mọi số $m$ luôn tồn tại $q$ thuộc $T$ để $(m,q)=f(q)$. Chứng minh giá trị của $f(n)$ là tùy ý khác $n$ nếu $n$ có ko ít hơn 2 ước nguyên tố. (Lời kết luận này cũng là 1 bước che đậy nhưng nó chỉ là 1 hệ quả suy ra sau khi nghiên cứu được hàm $f$). Anh k có nhiều thời giờ để đầu tư nghiên cứu cái này nên có thể sai nhưng quan trọng là chỉ ra 1 hướng mới cho em tìm hiểu thêm.

[vanhuongsky]

Trả lời cho dòng đầu tiên : T không thể gồm toàn các số nguyên tố được ạ ( vì T hữu hạn ). Còn đề bài chính xác (do em viết thiếu một cái )Cái kể luận là tồn tại z trong S khác 1 và x;y trong T để f(z)=UCLN(x;y). Và nó nằm trong quyển ôn thi TST của Trung Quốc từ lâu rồi do chú em nghiên cứu mang về ạ. Thì trong đó hint của nó là f(x)=x và chọn z là prim. Đơn giản là vì em thấy về cái hàm f nó có vẻ giống trong bài 30-4 nhưng điều kiện chặt hơn . Và ai trong số chúng ta cũng biết là phải xác định được f(x) trước khi chứng minh cái sau ạ. Thì sau khi có gợi ý này em mới chế như kia (có vẻ là lộ hơn là đã cho biết z nguyên tố ). Em cũng đang học đại học rồi nên học toán chỉ để tìm thêm cái gì đó hay hay cho vui thôi . Chứ số học trong diễn đàn ít bài lạ quá . 

[Karl Heinrich Marx]

Ý anh không phải $T$ là tập số nguyên tố mà ví dụ nếu $T$ gồm 2 phần tử $2$ và $3$ và $f(x)=x$, khi đấy làm sao để tìm được $x,y$ thuộc $T$ để $(f(x),f(y))$ là một số nguyên tố?

[vanhuongsky]

Chắc đề sai rồi. Nghĩ nhức óc..... Oài đề ôn thi TST mà sai thế này .  Chán !!!!

[Karl Heinrich Marx]

Chắc đề sai rồi. Nghĩ nhức óc..... Oài đề ôn thi TST mà sai thế này .  Chán !!!!

Hôm nay có dịp xem lại thì những lời giải của anh ở trên đã sai ngay từ một nhận xét ở ban đầu. Vì vậy tất cả các chứng minh trên đều sai. Haizz anh cũng không rõ là có còn khắc phục được nữa không nhưng giờ ko có tâm trạng suy nghĩ tiếp vấn đề này nữa. Em thử xem chỗ sai của anh ở đâu, xem thử có thể khắc phục nghiên cứu bài toán này mà không cần tìm hàm $f$ được không?