Chủ đề này có 5 trả lời

[firesidecake]

1, Cho a, b, c>0. Chứng minh

$\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}$

2, Cho a, b, c>0 thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh

$\frac{a^{3}+abc}{(b+c)^{2}}+\frac{b^{3}+abc}{(c+a)^{2}}+\frac{c^{3}+abc}{(a+b)^{2}}\geq \frac{3}{2}$

 

(Bạn nào làm cách mà sử dụng bất đẳng thức Nesbitt hộ mình với)

[phamquanglam]

1, Cho a, b, c>0. Chứng minh

$\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}$

2, Cho a, b, c>0 thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh

$\frac{a^{3}+abc}{(b+c)^{2}}+\frac{b^{3}+abc}{(c+a)^{2}}+\frac{c^{3}+abc}{(a+b)^{2}}\geq \frac{3}{2}$

 

(Bạn nào làm cách mà sử dụng bất đẳng thức Nesbitt hộ mình với)

Bài 1:

Bất đẳng thức tương đương với:

$\sum \frac{c(a+b)+ab}{b(a+b)}\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow \frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow \frac{c+b}{b}+\frac{a+b}{a}+\frac{a+c}{c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{15}{2}$

Áp dụng AM-GM:

$\frac{a+b}{4a}+\frac{a}{a+b}\geq 1$

$\frac{b+c}{4b}+\frac{b}{b+c}\geq 1$

$\frac{c+a}{4c}+\frac{c}{c+a}\geq 1$

Cộng hết các vế vào:

$\sum \frac{a+b}{4a}+\sum \frac{a}{a+b}\geq 3$

Mặt khác theo AM-GM  tiếp:

$\frac{3}{4}(\frac{a+b}{a}+\frac{b+c}{b}+\frac{c+a}{c})=\frac{3}{4}(3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geq \frac{9}{2}$

Cộng 2 BĐT trên lại thì có đpcm!

[hoctrocuanewton]

1, Cho a, b, c>0. Chứng minh

$\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}$

 

Áp dụng BĐT buniacốpski ta có :

$(\frac{1}{b(a+b)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)})(c(a+b)+a(c+b)+b(a+c))\geqslant (\sqrt{\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{b}{a}})^{2}\geqslant 9$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{b(b+a)}\geqslant \frac{9}{2(ab+bc+ac)}$

Vậy ta được đpcm

[tap lam toan]

1, Cho a, b, c>0. Chứng minh

$\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}$

Bài 1: Sử dụng 2 lần bđt $AM-GM$
$$\frac{1}{b\left ( a+b \right )}+\frac{1}{c\left ( c+b \right )}+\frac{1}{a\left ( a+c \right )}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{\left ( ab+bc \right )\left ( bc+ca \right )\left ( ca+ab \right )}}\geq \frac{9}{2\left ( ab+bc+ca \right )}$$

[nguyenhongsonk612]

Bài 1: Sử dụng 2 lần bđt $AM-GM$
$$\frac{1}{b\left ( a+b \right )}+\frac{1}{c\left ( c+b \right )}+\frac{1}{a\left ( a+c \right )}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{\left ( ab+bc \right )\left ( bc+ca \right )\left ( ca+ab \right )}}\geq \frac{9}{2\left ( ab+bc+ca \right )}$$

Chỗ này có vấn đề cậu. $b(a+b)=ab+b^2$ chứ!

[tap lam toan]

Chỗ này có vấn đề cậu. $b(a+b)=ab+b^2$ chứ!

đương nhiên tớ ko nhân vào như vậy mà là $abc(a+b)(b+c)(c+a)=c(a+b).a(b+c).b(c+a)$