Chủ đề này có 2 trả lời

[lahantaithe99]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leqslant 16(a+b+c)$. CMR

 

$\sum \frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}\leqslant \frac{8}{9}$

-------------------------------------

P/s: BĐT trá hình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 29-06-2014 - 20:54

[buitudong1998]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leqslant 16(a+b+c)$. CMR

 

$\sum \frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}\leqslant \frac{8}{9}$

-------------------------------------

P/s: BĐT trá hình

Từ GT suy ra: 

$16abc(a+b+c)\geqslant ab+bc+ca\rightarrow \frac{16}{3}(ab+bc+ca)^{2}\geqslant 16abc(a+b+c)\geqslant ab+bc+ca\rightarrow ab+bc+ca\geqslant \frac{3}{16}$

Do đó:

$\frac{27}{2}(a+b)(a+c)\leqslant \left [ a+b+\frac{1}{2}\sqrt{2(c+a)}+\frac{1}{2} \sqrt{2(c+a)}\right ]^{3}\rightarrow VT\leqslant \frac{2}{27}\sum \frac{1}{(a+b)(a+c)}=\frac{4(a+b+c)}{27(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{64}{81}.\frac{\frac{3}{16}(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \frac{64(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \frac{8}{9}(DPCM)$

[shinichikudo201]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leqslant 16(a+b+c)$. CMR

 

$\sum \frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}\leqslant \frac{8}{9}$

-------------------------------------

P/s: BĐT trá hình

Giải thích hộ mình chỗ này được không???