$ \left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$
Chứng minh bất đẳng thức $ \left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$
Bắt đầu bởi thanh loan, 01-07-2014 - 08:18
#2
Đã gửi 01-07-2014 - 08:34
Phuong Thu Quoc
-
- Thành viên
-
- 784 Bài viết
Trung úy
$ \left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$
$\left ( a+b+c \right )^{2}-3\left ( ab+bc+ca \right )=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\left [ \left ( a^{2}+b^{2}-2ab \right ) \right+\left ( b^{2}+c^{2}-2bc \right )+\left ( c^{2}+a^{2}-2ca \right ) ]=\frac{1}{2}\left [ \left ( a-b \right ) ^{2}+\left ( b-c \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2}\right ]\geq 0$
Từ đó $\Rightarrow \left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3\left ( ab+bc+ca \right )$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Thu Quoc: 01-07-2014 - 11:12
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
#3
Đã gửi 01-07-2014 - 08:45
thanh loan
-
- Thành viên
-
- 13 Bài viết
Binh nhì
$\left ( a+b+c \right )^{2}-3\left ( ab+bc+ca \right )=\left ( a-b \right )^{2}+\left ( b-c \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2}\geq 0$
anh có thể giải kỹ hơn giúp em đk ko ạ? 
#4
Đã gửi 01-07-2014 - 08:57
nguyenhongsonk612
-
- Thành viên
-
- 1451 Bài viết
Thượng úy
$ \left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$
Lời giải (kĩ)
BĐT đã cho $\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\geq 3(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$
BĐT này luôn đúng vì áp dụng BĐT $AM-GM$ cho từng cặp
$\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}\geq ab+bc+ca$
Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#5
Đã gửi 01-07-2014 - 09:35
Mikhail Leptchinski
-
- Thành viên
-
- 703 Bài viết
Thiếu úy
$ \left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$
Bài này biến đổi tương đương ra:$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$
đưa về hằng đẳng thức
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông
Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
Tại đây
#6
Đã gửi 01-07-2014 - 10:28
shinichikudo201
-
- Thành viên
-
- 521 Bài viết
Thiếu úy
$ \left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$(a+b+c)^{2}-3(ab+bc+ca)\geq 0$
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca-3ab-3bc-3ac\geq 0$
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\geq 0$
$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\geq 0$
$\Leftrightarrow a^{2}-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$
Điều này luôn đúng. BĐT được chứng minh.
(Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$)
- thanh loan yêu thích
It is the quality of one's convictions that determines success, not the number of followers
#7
Đã gửi 01-07-2014 - 11:19
toanc2tb
-
- Thành viên
-
- 325 Bài viết
Sĩ quan
Ta được $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \geq 3ab+3bc+3ca$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$ $(đpcm)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanc2tb: 01-07-2014 - 11:20
- thanh loan yêu thích
"Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn." (Issac Newton)
"Khi mọi thứ dường như đang quay lưng với bạn, thì hãy luôn nhớ rằng máy bay cất cánh được khi bay ngược chiều chứ không phải thuận chiều gió" 
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
