Chủ đề này có 5 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$

Tìm GTLN của biểu thức:$A=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 03-07-2014 - 14:09

[Hoang Tung 126]

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+b^2=c^2=1$

Tìm GTLN của biểu thức:

$A=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

Không mất tổng quát giả sử $a=max(a,b,c)$

$= > (a-b)(a-c)\geq 0$

Ta có:$9=(3(a^2+b^2+c^2))^2=((a+b+c)^2+2(a-b)(a-c)+2(b-c)^2)^2\geq (2\sqrt{2(a+b+c)^2(b-c)^2}+2(a-b)(a-c))^2=4((\sqrt{2(a+b+c)^2(b+c)^2})+(a-b)(a-c))^2\geq 4.4\sqrt{2(a+b+c)^2(b-c)^2}.(a-b)(a-c)=16\sqrt{2}(a-b)(a-c)(c-b)(a+b+c)= > (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\leq \frac{9}{16\sqrt{2}}$

[bestmather]

Không mất tổng quát giả sử $a=max(a,b,c)$

$= > (a-b)(a-c)\geq 0$

Ta có:$9=(3(a^2+b^2+c^2))^2=((a+b+c)^2+2(a-b)(a-c)+2(b-c)^2)^2\geq (2\sqrt{2(a+b+c)^2(b-c)^2}+2(a-b)(a-c))^2=4((\sqrt{2(a+b+c)^2(b+c)^2})+(a-b)(a-c))^2\geq 4.4\sqrt{2(a+b+c)^2(b-c)^2}.(a-b)(a-c)=16\sqrt{2}(a-b)(a-c)(c-b)(a+b+c)= > (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\leq \frac{9}{16\sqrt{2}}$

a,b,c làm gì có vai trò như nhau đâu nhỉ .

sao $a^2+b^2+c^2=1$ được ????

[hoangmanhquan]

a,b,c làm gì có vai trò như nhau đâu nhỉ .

sao $a^2+b^2+c^2=1$ được ????

$a,b,c$ có vai trò như nhau đấy ạ

Và $a^2+b^2+c^2=1$

[bestmather]

$a,b,c$ có vai trò như nhau đấy ạ

Và $a^2+b^2+c^2=1$

đề bài là $a^2+b^2=c^2=1$ mà !!!

[shinichikudo201]

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+b^2=c^2=1$

Tìm GTLN của biểu thức:

$A=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

Sửa đề: $a^2+b^2+c^2=1$; $a;b;c$ không âm.

Bài toán này dựa trên phép chứng minh bất đẳng thức sau:

$(a^2+b^2+c^2)^2\geq 4(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$ (khi chúng minh hoàn tất ta sẽ tìm được $max A=1$).

Chứng minh như sau:

Không mất tính tổng quát, giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$.

Nếu $a\geq b\geq c$ thì $(a-b)(b-c)(c-a)\leq 0$ nên bất đảng thức hiển nhiên đúng.

Xét $c\geq b\geq a$. Áp dụng Cauchy's Inequality dạng $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$ ta có:

$4(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)=4(a+b+c)(b-a).(c-b)(c-a)$$\leq \left [ (a+b+c)(b-a)+(c-b)(c-a) \right ]^{2}$

Bài toán quy về chứng minh $a^2+b^2+c^2\geq (a+b+c)(b-a)+(c-b)(c-a)$

Bất đẳng thức này tương đương với: $a(2a+2b-c)\geq 0$ (luôn đúng do $c\geq b\geq a$)  (Q.E.D)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 03-07-2014 - 10:41