7 replies to this topic

[Super Fields]

Với $a;b;c>0$, Chứng minh:

 

$(\sum \frac{a}{b})^2\geq \sum a.\sum \frac{1}{a}$

[phuocdinh1999]

Với $a;b;c>0$, Chứng minh:

 

$(\sum \frac{a}{b})^2\geq \sum a.\sum \frac{1}{a}$

Đổi biến $(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a})=(x;y;z)\Rightarrow xyz=1$

$BDT\Leftrightarrow (x+y+z)^2\geq 3+x+y+z+\sum \frac{1}{x}=3+\sum x+\sum xy$

$\Leftrightarrow \sum x^2+\sum xy\geq \sum x+3$

 

BĐT cuối đúng do AM-GM: $xy+yz+xz\geq 3;x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\geq x+y+z$

Vì vậy ta có đpcm.

[Super Fields]

Thêm nữa đây:

 

$2.$ $a;b;c;x;y;z>0$. Chứng minh rằng:

 

$ \sum \frac{a^3}{x}\geq \frac{(\sum a)^3}{3\sum x}$

Edited by Super Fields, 03-07-2014 - 15:46.

[Super Fields]

Bài 3: $a;b;c>0$ Chứng minh:

 

$\frac{2a^2}{2b+c}+\frac{2b^2}{2a+c}+\frac{c^2}{4a+4b}\geq \frac{1}{4}(2a+2b+c)$ 

 

 

-----------------------------------

Nhầm

Edited by Super Fields, 03-07-2014 - 15:53.

[phamquanglam]

Với $a;b;c>0$, Chứng minh:

 

$(\sum \frac{a}{b})^2\geq \sum a.\sum \frac{1}{a}$

BĐT tương đương với:

$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq 3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$

Ta có:Áp dụng AM-GM:

 $\frac{a^{2}}{b^{2}}+1\geq 2\frac{a}{b}$

$\frac{b^{2}}{c^{2}}+1\geq 2\frac{b}{c}$

$\frac{c^{2}}{a^{2}}+1\geq 2\frac{c}{a}$

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$

$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq 3$

Cộng hết vào:

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}+3+\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{a}{c}\geq 2\sum \frac{a}{b}+3+3\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{b^{2}}+\sum \frac{a}{c}\geq 3+\sum \frac{a}{b}$

Vậy BĐT đã chứng minh xong

[Messi10597]

Bài 3: $a;b;c>0$ Chứng minh:

 

$\frac{2a^2}{2b+c}+\frac{2b^2}{2a+c}+\frac{c^2}{4a+4b}\geq \frac{1}{4}(2a+2b+c)$ 

 

 

-----------------------------------

Nhầm

$\frac{4a^{2}}{4b+2c}+\frac{4b^{2}}{4a+2c}+\frac{c^{2}}{4a+4b}\geq \frac{(2a+2b+c)^{2}}{8a+8b+4c}=\frac{2a+2b+c}{4}$

[bestmather]

Bài 3: $a;b;c>0$ Chứng minh:

 

$\frac{2a^2}{2b+c}+\frac{2b^2}{2a+c}+\frac{c^2}{4a+4b}\geq \frac{1}{4}(2a+2b+c)$ 

 

 

-----------------------------------

Nhầm

$VT=\frac{4a^2}{4b+2c}+\frac{4b^2}{4a+2c}+\frac{c^2}{4a+4b}\geq \frac{(2a+2b+c)^2}{4(2a+2b+c)}=VP$

[phamquanglam]

Thêm nữa đây:

 

$2.$ $a;b;c;x;y;z>0$. Chứng minh rằng:

 

$ \sum \frac{a^3}{x}\geq \frac{(\sum a)^3}{3\sum x}$

Bây giờ chứng minh BĐT phụ này:

$\sum a^{3}.\sum x^{3}.\sum m^{3}\geq (axm+byn+czp)^{3}$

Mình đã chứng minh ở đây http://diendantoanho...geq-axmbynczp3/

Áp dụng:

$(\frac{a^{3}}{x}+\frac{b^{3}}{y}+\frac{c^{3}}{z})(x+y+z)(1+1+1)\geq (a+b+c)^{3}\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{x}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{3(x+y+z)}$