Với $a;b;c>0$, Chứng minh:
$(\sum \frac{a}{b})^2\geq \sum a.\sum \frac{1}{a}$
Với $a;b;c>0$, Chứng minh:
$(\sum \frac{a}{b})^2\geq \sum a.\sum \frac{1}{a}$
Với $a;b;c>0$, Chứng minh:
$(\sum \frac{a}{b})^2\geq \sum a.\sum \frac{1}{a}$
Đổi biến $(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a})=(x;y;z)\Rightarrow xyz=1$
$BDT\Leftrightarrow (x+y+z)^2\geq 3+x+y+z+\sum \frac{1}{x}=3+\sum x+\sum xy$
$\Leftrightarrow \sum x^2+\sum xy\geq \sum x+3$
BĐT cuối đúng do AM-GM: $xy+yz+xz\geq 3;x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\geq x+y+z$
Vì vậy ta có đpcm.
Thêm nữa đây:
$2.$ $a;b;c;x;y;z>0$. Chứng minh rằng:
$ \sum \frac{a^3}{x}\geq \frac{(\sum a)^3}{3\sum x}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 03-07-2014 - 15:46
Bài 3: $a;b;c>0$ Chứng minh:
$\frac{2a^2}{2b+c}+\frac{2b^2}{2a+c}+\frac{c^2}{4a+4b}\geq \frac{1}{4}(2a+2b+c)$
-----------------------------------
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 03-07-2014 - 15:53
Với $a;b;c>0$, Chứng minh:
$(\sum \frac{a}{b})^2\geq \sum a.\sum \frac{1}{a}$
BĐT tương đương với:
$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq 3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$
Ta có:Áp dụng AM-GM:
$\frac{a^{2}}{b^{2}}+1\geq 2\frac{a}{b}$
$\frac{b^{2}}{c^{2}}+1\geq 2\frac{b}{c}$
$\frac{c^{2}}{a^{2}}+1\geq 2\frac{c}{a}$
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$
$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq 3$
Cộng hết vào:
$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}+3+\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{a}{c}\geq 2\sum \frac{a}{b}+3+3\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{b^{2}}+\sum \frac{a}{c}\geq 3+\sum \frac{a}{b}$
Vậy BĐT đã chứng minh xong
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
Bài 3: $a;b;c>0$ Chứng minh:
$\frac{2a^2}{2b+c}+\frac{2b^2}{2a+c}+\frac{c^2}{4a+4b}\geq \frac{1}{4}(2a+2b+c)$
-----------------------------------
$\frac{4a^{2}}{4b+2c}+\frac{4b^{2}}{4a+2c}+\frac{c^{2}}{4a+4b}\geq \frac{(2a+2b+c)^{2}}{8a+8b+4c}=\frac{2a+2b+c}{4}$
Bài 3: $a;b;c>0$ Chứng minh:
$\frac{2a^2}{2b+c}+\frac{2b^2}{2a+c}+\frac{c^2}{4a+4b}\geq \frac{1}{4}(2a+2b+c)$
-----------------------------------
$VT=\frac{4a^2}{4b+2c}+\frac{4b^2}{4a+2c}+\frac{c^2}{4a+4b}\geq \frac{(2a+2b+c)^2}{4(2a+2b+c)}=VP$
Trái tim nóng và cái đầu lạnh
Thêm nữa đây:
$2.$ $a;b;c;x;y;z>0$. Chứng minh rằng:
$ \sum \frac{a^3}{x}\geq \frac{(\sum a)^3}{3\sum x}$
Bây giờ chứng minh BĐT phụ này:
$\sum a^{3}.\sum x^{3}.\sum m^{3}\geq (axm+byn+czp)^{3}$
Mình đã chứng minh ở đây http://diendantoanho...geq-axmbynczp3/
Áp dụng:
$(\frac{a^{3}}{x}+\frac{b^{3}}{y}+\frac{c^{3}}{z})(x+y+z)(1+1+1)\geq (a+b+c)^{3}\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{x}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{3(x+y+z)}$
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh