Giải PT nghiệm nguyên:
$x^{2}+5=y^{3}$
#1
Đã gửi 04-07-2014 - 05:55
PolarBear154
-
- Thành viên
-
- 396 Bài viết
Sĩ quan
- mnguyen99 yêu thích
Trong bất cứ hoàn cảnh công việc nào, không cúi đầu trước cái ác, không lùi trước hiểm nạn. Nhìn thẳng và đi trên con đường mình đã chọn: con đường mà sự nhẫn nại bao dung là những bước đi tới, hành trang là những ước mơ vô cùng bé nhỏ- chỉ xin làm một cành dương tưới trên cuộc đời đầy rẫy khô khát và bất trắc...
#2
Đã gửi 05-07-2014 - 08:01
HoangHungChelski
-
- Thành viên
-
- 283 Bài viết
Thượng sĩ
$(*)$ Xét $y$ chẵn $\Rightarrow y^3\equiv 0 \pmod 8\Rightarrow x^2+5\equiv 0 \pmod 8\Rightarrow x^2\equiv 3 \pmod 8$ (vô lí)
$(*)$ Xét $y$ lẻ
• Nếu $y=4k+3(k\in \mathbb{Z})$
Ta có: $y^3\equiv 3 \pmod 4\Rightarrow x^2+5\equiv 3 \pmod 4 \Rightarrow x^2\equiv 2 \pmod 4$ (vô lí)
• Nếu $y=4k+1(k\in \mathbb{Z})$
Ta có: $pt\Leftrightarrow x^2+4=y^3-1\Leftrightarrow x^2+4=(y-1)(y^2+y+1)$
Ta thấy $y^2+y+1=(4k+1)^2+(4k+1)+1=4t+3$
$\Rightarrow y^3-1$ có ít nhất $1$ ước nguyên tố $p=4s+3$
$\Rightarrow 4s+3=p\mid x^2+4\Rightarrow p\mid 4\Rightarrow p=2$ (vô lí)
Vậy phương trình vô nghiệm nguyên $\blacksquare$
___________________________
Tổng quát, ta có phương trình $\text {Mordell}$:
$x^2+k=y^3$ với $k,x,y\in \mathbb{Z}$
Ta có bài toán $\text {Lebesgue}$ với $k=-7$
$x^2-y^3=7$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangHungChelski: 05-07-2014 - 08:06
- mnguyen99, PolarBear154 và einstein627 thích
#3
Đã gửi 05-07-2014 - 08:17
Mikhail Leptchinski
-
- Thành viên
-
- 703 Bài viết
Thiếu úy
Giải PT nghiệm nguyên:
$x^{2}+5=y^{3}$
Cách khác trâu hơn nhé 
Ta có $x^2\equiv 0,1,4,9(mod 16)$
$=> x^2+5\equiv 5,6,10,14 (mod 16)$
Ta có $y^3\equiv 0,1,7,8,9,11,13(mod 16)$
Từ đó suy ra phương trình vô nghiệm
Phải chứng minh số chính phương chia 16 dư 0,1,4,9 và lập phương 1 số chia 0,1,7,8,9,11,13
- deathavailable, PolarBear154, HoangHungChelski và 1 người khác yêu thích
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông
Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
Tại đây
#4
Đã gửi 05-07-2014 - 16:02
mnguyen99
-
- Thành viên
-
- 696 Bài viết
Thiếu úy
$(*)$ Xét $y$ chẵn $\Rightarrow y^3\equiv 0 \pmod 8\Rightarrow x^2+5\equiv 0 \pmod 8\Rightarrow x^2\equiv 3 \pmod 8$ (vô lí)
$(*)$ Xét $y$ lẻ
• Nếu $y=4k+3(k\in \mathbb{Z})$
Ta có: $y^3\equiv 3 \pmod 4\Rightarrow x^2+5\equiv 3 \pmod 4 \Rightarrow x^2\equiv 2 \pmod 4$ (vô lí)
• Nếu $y=4k+1(k\in \mathbb{Z})$
Ta có: $pt\Leftrightarrow x^2+4=y^3-1\Leftrightarrow x^2+4=(y-1)(y^2+y+1)$
Ta thấy $y^2+y+1=(4k+1)^2+(4k+1)+1=4t+3$
$\Rightarrow y^3-1$ có ít nhất $1$ ước nguyên tố $p=4s+3$
$\Rightarrow 4s+3=p\mid x^2+4\Rightarrow p\mid 4\Rightarrow p=2$ (vô lí)
Vậy phương trình vô nghiệm nguyên $\blacksquare$
___________________________
Tổng quát, ta có phương trình $\text {Mordell}$:
$x^2+k=y^3$ với $k,x,y\in \mathbb{Z}$
Ta có bài toán $\text {Lebesgue}$ với $k=-7$
$x^2-y^3=7$
THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$???
TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026
#5
Đã gửi 09-07-2014 - 15:58
deathavailable
-
- Thành viên
-
- 265 Bài viết
Thượng sĩ
Cách khác trâu hơn nhé
Ta có $x^2\equiv 0,1,4,9(mod 16)$
$=> x^2+5\equiv 5,6,10,14 (mod 16)$
Ta có $y^3\equiv 0,1,7,8,9,11,13(mod 16)$
Từ đó suy ra phương trình vô nghiệm
Phải chứng minh số chính phương chia 16 dư 0,1,4,9 và lập phương 1 số chia 0,1,7,8,9,11,13
Sao lại nghĩ đến xét đồng dư cho 16 hả bạn 
- Mikhail Leptchinski yêu thích
Ế là xu thế mang tầm cỡ quốc tế của các cấp bậc vai vế
#6
Đã gửi 09-07-2014 - 16:13
deathavailable
-
- Thành viên
-
- 265 Bài viết
Thượng sĩ
Cách khác trâu hơn nhé
Ta có $x^2\equiv 0,1,4,9(mod 16)$
$=> x^2+5\equiv 5,6,10,14 (mod 16)$
Ta có $y^3\equiv 0,1,7,8,9,11,13(mod 16)$
Từ đó suy ra phương trình vô nghiệm
Phải chứng minh số chính phương chia 16 dư 0,1,4,9 và lập phương 1 số chia 0,1,7,8,9,11,13
$4+5 = 9$ chứ sao lại thành 10 như kia??? hình như sai rồiiii
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi deathavailable: 09-07-2014 - 20:50
Ế là xu thế mang tầm cỡ quốc tế của các cấp bậc vai vế
#7
Đã gửi 16-07-2014 - 22:47
Hajimemashite
-
- Thành viên
-
- 13 Bài viết
Binh nhì
$(*)$ Xét $y$ chẵn $\Rightarrow y^3\equiv 0 \pmod 8\Rightarrow x^2+5\equiv 0 \pmod 8\Rightarrow x^2\equiv 3 \pmod 8$ (vô lí)
$(*)$ Xét $y$ lẻ
• Nếu $y=4k+3(k\in \mathbb{Z})$
Ta có: $y^3\equiv 3 \pmod 4\Rightarrow x^2+5\equiv 3 \pmod 4 \Rightarrow x^2\equiv 2 \pmod 4$ (vô lí)
• Nếu $y=4k+1(k\in \mathbb{Z})$
Ta có: $pt\Leftrightarrow x^2+4=y^3-1\Leftrightarrow x^2+4=(y-1)(y^2+y+1)$
Ta thấy $y^2+y+1=(4k+1)^2+(4k+1)+1=4t+3$
$\Rightarrow y^3-1$ có ít nhất $1$ ước nguyên tố $p=4s+3$
$\Rightarrow 4s+3=p\mid x^2+4\Rightarrow p\mid 4\Rightarrow p=2$ (vô lí)
Vậy phương trình vô nghiệm nguyên $\blacksquare$
___________________________
Tổng quát, ta có phương trình $\text {Mordell}$:
$x^2+k=y^3$ với $k,x,y\in \mathbb{Z}$
Ta có bài toán $\text {Lebesgue}$ với $k=-7$
$x^2-y^3=7$
x2 =p\mid -4 (mod p)
Suy ra : x2(2s+1) =p\mid -22(2s+1) (mod p)
hay xp-1 =p\mid -2p-1 =p\mid -1 (mod p)
Nếu (x;p)=1 thì xp-1 =p\mid 1 ( mod p) (Fecma bé )
mâu thuẫn . suy ra x chia hết cho p
=> p=2
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
