Chủ đề này có 4 trả lời

[Mikhail Leptchinski]

Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất:$P=\sum (1-4ab)^2$

[datmc07061999]

Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất:$P=\sum (1-4ab)^2$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta được :

  $\sum (1-4ab)^{2}\geq \frac{1}{3}(\sum (1-4ab))^{2}=\frac{1}{3}(3-4ab-4bc-4ca)^{2}=\frac{1}{3}[3(a+b+c)^{2}-4ab-4bc-4ca]=\frac{1}{3}(3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}+2ab+2bc+2ca)=\frac{1}{3}[(a+b+c)^{2}+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})]$ 

Lại có :$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$

 Suy ra $\sum (1-4ab)^{2}\geq \frac{25}{27}$

   Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datmc07061999: 05-07-2014 - 10:39

[khanghaxuan]

Bạn làm max luôn đi !

[lahantaithe99]

Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất:$P=\sum (1-4ab)^2$

ĐK phải là $a,b,c\geqslant 0$

 

 

Trước tiên ta có $4ab\leqslant (a+b)^2\leqslant (a+b+c)^2=1\Rightarrow 1-4ab\geqslant 0$

 

Tương tự cũng có $1-4bc,1-4ac\geqslant 0$ (điều này đảm bảo các số trong ngoặc đều không âm)

 

Khi đó ta có các đánh giá:

 

$\left\{\begin{matrix} 4ab\geqslant 0 & & \\ 4bc\geqslant 0 & & \\ 4ac\geqslant 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leqslant 1-4ab\leqslant 1 & & \\ 0\leqslant 1-4bc\leqslant 1 & & \\ 0\leqslant 1-4ac\leqslant 1 & & \end{matrix}\right.$

 

Suy ra $P\leqslant 1^2+1^2+1^2=3$

 

Dấu $=$ xảy ra khi $(a,b,c)=(0,0,1)$ và các hoán vị

[datmc07061999]

Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất:$P=\sum (1-4ab)^2$

Nếu bạn cho Đk a,b,c>0 xin lỗi mình ko thể làm được....