Chủ đề này có 4 trả lời

[HoangHungChelski]

1.Tìm nghiệm nguyên dương $(x,k,n)$ của phương trình: 
                                                        $3^k-1=x^n$
2. Cho ba số tự nhiên $a,b,c$ thỏa mãn 
     • $a-b$ là số nguyên tố
     • $3c^2=c(a+b)+ab$
CMR: $8c+1$ là số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangHungChelski: 05-07-2014 - 16:38

[mnguyen99]

1.Tìm nghiệm nguyên dương $(x,k,n)$ của phương trình: 
                                                        $3^k-1=x^n$
 

đặt x=2m.

+Nếu n=1 thì pt có vô số nghiệm.

+Nếu n>1:

$3^{k}-1\equiv 0(mod 4)\Rightarrow (-1)^{k}-1\equiv 0(mod4)\Rightarrow k=2a$

Do đó $3^{2a}-1=(2m)^{n}\Leftrightarrow (3^{a}-1)(3^{a}+1)=(2m)^{n}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}3^{a}-1=2^{r}.A \\ 3^{a}+1=2^{t}.B \end{matrix}\right.$$\Rightarrow 2^{t}.B-2^{r}.a=2\Leftrightarrow 2^{t-1}.B-2^{r-1}.A=1$

$\Rightarrow r=1$

$2^{t-1}.B-\frac{3^{a}-1}{2}=1\Leftrightarrow 2^{t}.B-3^{a}=1$ 

pt này là một pt có vô số nghiệm nguyên.

pt   $3^k-1=x^n$ có vô số nghiệm nguyen dương và có lẽ ko thể tìm được công thức tổng quát

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mnguyen99: 06-07-2014 - 17:04

[Rias Gremory]

2. Cho ba số tự nhiên $a,b,c$ thỏa mãn 
     • $a-b$ là số nguyên tố
     • $3c^2=c(a+b)+ab$
CMR: $8c+1$ là số chính phương.

 

$3c^{2}=c(a+b)+ab\Rightarrow 4c^{2}=(a+c)(b+c)$ (1)

Vì $a-b$ là số nguyên tố nên $a>b\Rightarrow a+c> b+c\Rightarrow (a+c)(b+c)> (b+c)^{2}$ (2)

Từ (1)(2) suy ra $c> b$ (3)

Có $(a+c)-(b+c)=a-b$ là số nguyên tố

$\Rightarrow$ $a-b$ là $UC(a+c;b+c)$ hoặc $(a+c;b+c)=1$

Xét TH$1$ : $a-b=\alpha \in UC(a+c;b+c)\Rightarrow a+c=\alpha x,b+c=\alpha y$

$\alpha x-\alpha y=a-b=\alpha \Rightarrow x-y=1\Rightarrow x=y+1$

$(1)\Rightarrow (2c)^{2}=\alpha ^{2}xy=\alpha ^{2}y(y+1)$

$\Rightarrow y(y+1)$ là số chính phương $\Rightarrow y=0$ ( vì $y$ và $y+1$ là $2$ số tự nhiên liên tiếp )

$\Rightarrow b+c=0$ (trái với $3$)

Xét TH$2$ : Nếu $(a+c;b+c)=1$

Đặt $a+c=\beta ^{2};b+c=\gamma ^{2}$

$(1)\Rightarrow \beta ^{2}-\gamma ^{2}=(\beta -\gamma )(\beta +\gamma )=a-b$ là số nguyên tố 

Mà $\beta +\gamma > \beta -\gamma$

$\Rightarrow \beta -\gamma =1,\beta +\gamma =a-b$

$\Rightarrow (2c)^{2}=(b+c)(c+a)=(\beta \gamma )^{2}=(\beta -1)^{2}\beta ^{2}$

$\Rightarrow 2c=\beta (\beta -1)$

$\Rightarrow 8c+1=4\beta (\beta -1)+1=(2\beta -1)^{2}$ là số chính phương

[HoangHungChelski]

đặt x=2m.

+Nếu n=1 thì pt có vô số nghiệm.

+Nếu n>1:

$3^{k}-1\equiv 0(mod 4)\Rightarrow (-1)^{k}-1\equiv 0(mod4)\Rightarrow k=2a$

Do đó $3^{2a}-1=(2m)^{n}\Leftrightarrow (3^{a}-1)(3^{a}+1)=(2m)^{n}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}3^{a}-1=2^{r}.A \\ 3^{a}+1=2^{t}.B \end{matrix}\right.$$\Rightarrow 2^{t}.B-2^{r}.a=2\Leftrightarrow 2^{t-1}.B-2^{r-1}.A=1$

$\Rightarrow r=1$

$2^{t-1}.B-\frac{3^{a}-1}{2}=1\Leftrightarrow 2^{t}.B-3^{a}=1$ 

pt này là một pt có vô số nghiệm nguyên.

pt   $3^k-1=x^n$ có vô số nghiệm nguyen dương và có lẽ ko thể tìm được công thức tổng quát

Nghiệm tổng quát là $(x,k,n)=(3^k-1,k,1)$ với $k\in \mathbb{Z^+}$, ngoài ra còn nghiệm $(2;2;3)$ nữa, bạn nên xem lại bài làm của mình.

[mnguyen99]

Nghiệm tổng quát là $(x,k,n)=(3^k-1,k,1)$ với $k\in \mathbb{Z^+}$, ngoài ra còn nghiệm $(2;2;3)$ nữa, bạn nên xem lại bài làm của mình.

Bạn có cách giải ko.