Cho $f\in \mathbb{R}[x]$ , $deg$ $f=n$, $f(i)=2^i$ với $i=\overline{1,n+1}$
Tính $f(n+2)$
Bài này VMO 1986
Ta cm bằng quy nạp được $f(n+2)=2^{n+2}-2$
(Trong nhiều tài liệu đã có cm cái này )
mình cũng có tài liệu đó nhưng chưa hiểu vài chổ, đăng lên để hỏi chi tiết
Bài này hình như làm thế này:
Xét $ g(x) = 1 + x + \frac{x(x-1)}{2!} + \frac{x(x-1)(x-2)}{3!}+..... +\frac{x(x-1)(x-2)...(x-n+1)}{n!}$
Thì $h(x) = f(x) -g(x) $ là đa thức bậc không lớn hơn $n$ và có ít nhất $n+1$ nghiệm $1 ; 2 ;...; n+1$
$ \implies h(x) = 0 \ \forall x \in \mathcal{R} $
$ \implies f(x) = g(x) \ \forall x \in \mathcal{R} $
$ \implies f(n+2) = g(n+2) = 1+ \binom{n+2}{1} +\binom{n+2}{2}+.....+ \binom{n+2}{n} = (1+1)^{n+2} - \binom{n+2}{n+1}- \binom{n+2}{n+2} = 2^{n+2} - n -2 $
Edited by supermember, 07-07-2014 - 10:06.
Bài này hình như làm thế này:
Xét $ g(x) = 1 + x + \frac{x(x-1)}{2!} + \frac{x(x-1)(x-2)}{3!}+..... +\frac{x(x-1)(x-2)...(x-n+1)}{n!}$
Thì $h(x) = f(x) -g(x) $ là đa thức bậc không lớn hơn $n$ và có ít nhất $n+1$ nghiệm $1 ; 2 ;...; n+1$
$ \implies h(x) = 0 \ \forall x \in \mathcal{R} $
$ \implies f(x) = g(x) \ \forall x \in \mathcal{R} $
$ \implies f(n+2) = g(n+2) = 1+ \binom{n+2}{1} +\binom{n+2}{2}+.....+ \binom{n+2}{n} = (1+1)^{n+2} - \binom{n+2}{n+1}- \binom{n+2}{n+2} = 2^{n+2} - n-2 $
vì sao anh có cái $g(x)$ như vậy, mà cái cuối anh sai thì phải $f(n+2)=2^{n+2}-2$
Edited by BlackZero, 07-07-2014 - 19:58.
0 members, 1 guests, 0 anonymous users