Chủ đề này có 4 trả lời

[BlackZero]

Cho $f\in \mathbb{R}[x]$ , $deg$ $f=n$, $f(i)=2^i$ với $i=\overline{1,n+1}$

Tính $f(n+2)$

[Melodyy]

Cho $f\in \mathbb{R}[x]$ , $deg$ $f=n$, $f(i)=2^i$ với $i=\overline{1,n+1}$

Tính $f(n+2)$

Bài này VMO 1986

Ta cm bằng quy nạp được $f(n+2)=2^{n+2}-2$

(Trong nhiều tài liệu đã có cm cái này )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Melodyy: 06-07-2014 - 21:52

[BlackZero]

Bài này VMO 1986

Ta cm bằng quy nạp được $f(n+2)=2^{n+2}-2$

(Trong nhiều tài liệu đã có cm cái này )

mình cũng có tài liệu đó nhưng chưa hiểu vài chổ, đăng lên để hỏi chi tiết

[supermember]

Bài này hình như làm thế này:

 

Xét $ g(x) = 1 + x + \frac{x(x-1)}{2!} + \frac{x(x-1)(x-2)}{3!}+..... +\frac{x(x-1)(x-2)...(x-n+1)}{n!}$

 

Thì $h(x) = f(x) -g(x) $ là đa thức bậc không lớn hơn $n$ và có ít nhất $n+1$ nghiệm $1 ; 2 ;...; n+1$

 

$ \implies h(x) = 0  \ \forall x \in \mathcal{R} $

 

$ \implies f(x) = g(x) \ \forall x \in \mathcal{R} $

 

$ \implies f(n+2) = g(n+2) = 1+ \binom{n+2}{1} +\binom{n+2}{2}+.....+ \binom{n+2}{n} = (1+1)^{n+2} - \binom{n+2}{n+1}- \binom{n+2}{n+2} = 2^{n+2} - n -2 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 07-07-2014 - 10:06

[BlackZero]

Bài này hình như làm thế này:

 

Xét $ g(x) = 1 + x + \frac{x(x-1)}{2!} + \frac{x(x-1)(x-2)}{3!}+..... +\frac{x(x-1)(x-2)...(x-n+1)}{n!}$

 

Thì $h(x) = f(x) -g(x) $ là đa thức bậc không lớn hơn $n$ và có ít nhất $n+1$ nghiệm $1 ; 2 ;...; n+1$

 

$ \implies h(x) = 0  \ \forall x \in \mathcal{R} $

 

$ \implies f(x) = g(x) \ \forall x \in \mathcal{R} $

 

$ \implies f(n+2) = g(n+2) = 1+ \binom{n+2}{1} +\binom{n+2}{2}+.....+ \binom{n+2}{n} = (1+1)^{n+2} - \binom{n+2}{n+1}- \binom{n+2}{n+2} = 2^{n+2} - n-2 $

 

vì sao anh có cái $g(x)$ như vậy, mà cái cuối anh sai thì phải $f(n+2)=2^{n+2}-2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackZero: 07-07-2014 - 19:58