Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
$\frac{a^3}{b^2}+a\geq \frac{2a^2}{b}\Rightarrow \frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq 2-(a+b+c)$
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh
$2-(a+b+c)\geq 1+\frac{a^2}{2b^2}.(a-b)^2+\frac{b^2}{2c^2}.(b-c)^2+\frac{c^2}{2a^2}.(c-a)^2$
$\Leftrightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{a^2}{2b^2}.(a-b)^2+\frac{b^2}{2c^2}.(b-c)^2+\frac{c^2}{2a^2}.(c-a)^2$
Theo BĐT (3) thì ta cần chỉ ra $\frac{a^2}{2b},\frac{b^2}{2c},\frac{c^2}{2a}\in (0;1]$
Mà ta lại có : $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=1\Rightarrow \frac{a^2}{b}<1<2\Rightarrow \frac{a^2}{2b}<1$
Từ đó có điều cần chứng minh
Bài này còn cách giải khác là áp dụng BĐT $(10)$
Với $\alpha =\frac{3b}{4(a+b)}.\frac{a^2}{b}; \beta =\frac{3c}{4(b+c)}.\frac{b^2}{c}; \gamma =\frac{3a}{4(c+a)}.\frac{c^2}{a}$
Ngày mai sẽ post tiếp bài tập nhé