Chủ đề này có 1 trả lời

[Melodyy]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

Cmr $\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ac}\leq \frac{9}{2}$ (cm bằng tiếp tuyến)

[buitudong1998]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

Cmr $\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ac}\leq \frac{9}{2}$ (cm bằng tiếp tuyến)

Ta có: 

$VT-\frac{9}{2}=\frac{ab}{1-ab}+\frac{bc}{1-bc}+\frac{ca}{1-ca}-\frac{3}{2}\leqslant \sum \frac{(a+b)^{2}}{4(1-ab)}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\sum \frac{(a+b)^{2}}{2-2ab}-\frac{3}{2}$

Mà: 

$2-2ab=(a-b)^{2}+c^{2}+1\geqslant c^{2}+a^{2}+c^{2}+b^{2}$

Do đó: 

$VT-\frac{9}{2}\leqslant \sum \frac{(a+b)^{2}}{2-2bc}-\frac{3}{2}\leqslant \frac{1}{2}\sum (\frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}})-\frac{3}{2}=0\rightarrow (DPCM)$

$-$Nếu dùng tiếp tuyến thì ta sử dụng kết quả :

$\frac{1}{2-2ab}\leqslant \frac{1}{1+c^{2}}\leqslant \frac{3}{4}-\frac{3}{16}(3c^{2}-1)$