Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho $x,y,z>0$ và$(\sum xy)^2.\sum x^2=(\sum x)^2$

Tìm GTNN của biểu thức:

$A=\sum x^3+\sum x+1-xyz$

 

[Trang Luong]

Cho $x,y,z>0$ và$(\sum xy)^2.\sum x^2=(\sum x)^2$

Tìm GTNN của biểu thức:

$A=\sum x^3+\sum x+1-xyz$

Từ $GT\Rightarrow \left ( x+y+z \right )^2=\left ( xy+yz+xz \right )^2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )\leq \left [ \frac{\left ( x+y+z \right )^2}{3} \right ]^3\Rightarrow 27\leq \left ( x+y+z \right )^4\Rightarrow x+y+z\geq \sqrt[4]{27}$

Áp dụng BĐT AM-GM với Bunhia

Ta có : $A=\frac{1}{x+y+z}\left [ \left ( x+y+z \right )\left ( x^3+y^3+z^3 \right )+\left ( x+y+z \right )^2+\left ( x+y+z \right )-xyz\left ( x+y+z \right ) \right ]\geq \frac{1}{x+y+z}\left [ \left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2+\left ( x+y+z \right )^2+\left (x+y+z \right )-\frac{1}{3}\left ( xy+yz+xz \right )^2 \right ]\geq \frac{1}{x+y+z}\left [ \left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2+\left ( x+y+z \right )^2+\left (x+y+z \right )-\frac{1}{3}\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2 \right ]\geq \frac{1}{x+y+z}\left [\frac{2}{3} \left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2+\left ( x+y+z \right )^2+\left (x+y+z \right ) \right ]\geq \frac{1}{x+y+z}\left [ \frac{2}{3}\left ( \frac{(x+y+z)^2}{3} \right )^2+\left ( x+y+z \right )^2+x+y+z \right ] =\frac{2}{27}\left ( x+y+z \right )^3+x+y+z+1\geq 1+\sqrt[4]{27}+\frac{2}{27}\sqrt[4]{27^3}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

[Trang Luong]

Cho $x,y,z>0$ và$(\sum xy)^2.\sum x^2=(\sum x)^2$

Tìm GTNN của biểu thức:

$A=\sum x^3+\sum x+1-xyz$

Từ $GT\Rightarrow \left ( x+y+z \right )^2=\left ( xy+yz+xz \right )^2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )\leq \left [ \frac{\left ( x+y+z \right )^2}{3} \right ]^3\Rightarrow 27\leq \left ( x+y+z \right )^4\Rightarrow x+y+z\geq \sqrt[4]{27}$

Ta chứng minh trực tiếp : $x^3+y^3+z^3-xyz\geq \frac{2}{27}\left ( x+y+z \right )^3$

Áp dụng BĐT AM-GM: 

Ta có : $27\left ( x^3+y^3+z^3 \right )\geq 2\left ( x+y+z \right )^3+27xyz\Leftrightarrow 25\left ( x^3+y^3+z^3 \right )\geq 6\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( x+z \right )+27xyz\Rightarrow 16\left ( x^3+y^3+z^3 \right )\geq 6\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )\Rightarrow 8\left ( x^3+y^3+z^3 \right )\geq 3\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )=3\left ( x^2y+y^2z+z^2x+2xyz+xy^2+yz^2+zx^2 \right )\Leftrightarrow 2\left ( x^3+y^3+z^3 \right )\geq x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2$  luôn đúng với $x,y,z$ là các số thực dương.

$\Rightarrow$$P\geq \frac{2}{27}\left ( x+y+z \right )^3+x+y+z+1\geq 1+\sqrt[4]{27}+\frac{2}{27}\sqrt[4]{27^3}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 09-07-2014 - 21:24