Chủ đề này có 3 trả lời

[Nguyentiendung9372]

Cho 3 số thực $a, b, c$. Chứng minh rằng $\sum {{{\left( {a + b} \right)}^4}}  \ge \frac{4}{7}\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right)$

[25 minutes]

Cho 3 số thực $a, b, c$. Chứng minh rằng $\sum {{{\left( {a + b} \right)}^4}}  \ge \frac{4}{7}\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right)$

VN TST1996

https://www.artofpro...f2ca40a#p268327

[PolarBear154]

Cho 3 số thực $a, b, c$. Chứng minh rằng $\sum {{{\left( {a + b} \right)}^4}}  \ge \frac{4}{7}\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right)$

Mình chứng minh bài này dựa vào bất đẳng thức sau:

$\sum (x+y-z)^{4}\leq 28\sum (x^{4})$  (*)

Khi đó, nếu ta đặt x=a+b, y=b+c, z=c+a thì $a=\frac{x+z-y}{2},b=\frac{x+y-z}{2},c=\frac{y+z-x}{2}$, thay vào bất đẳng thức ban đầu, biến đổi ra (*) là một BĐT đúng. Việc biến đổi tương đương này mình nghĩ không mấy khó khăn, phần còn lại là CM (*) thế nào

Ở đây mình xuất phát từ đẳng thức sau:

$(x+y)^{4}+(x-y)^{4}=2x^{4}+12x^{2}y^{2}+2y^{4}$

Ta có:$[(x+y)+z]^{4}+[(x+y)-z]^{4}+[z-(x-y)]^{4}+[z+(x-y)]^{4}=2(x+y)^{4}+12(x+y)^{2}z^{2}+2z^{4}+2z^{4}+12(x-y)^{2}z^{2}+2(x-y)^{4}=2[(x+y)^{4}+(x-y)^{4}]+12z^{2}[(x+y)^{2}+(x-y)^{2}]+4z^{4}=4\sum (x^{4})+24\sum (x^{2}y^{2})\leq 28\sum x^{4}$

Lại do $(x+y+z)^{4}\geq 0$ nên suy ra BĐT (*) đúng.

Bài toán chứng minh xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PolarBear154: 17-07-2014 - 14:15

[KietLW9]

Việt Nam TST 1996 | Let solution say the method