Cho 3 số thực $a, b, c$. Chứng minh rằng $\sum {{{\left( {a + b} \right)}^4}} \ge \frac{4}{7}\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right)$
$\sum {{{\left( {a + b} \right)}^4}} \ge \frac{4}{7}\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right)$
#1
Đã gửi 07-07-2014 - 23:22
#2
Đã gửi 16-07-2014 - 19:02
Cho 3 số thực $a, b, c$. Chứng minh rằng $\sum {{{\left( {a + b} \right)}^4}} \ge \frac{4}{7}\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right)$
VN TST1996
https://www.artofpro...f2ca40a#p268327
#3
Đã gửi 17-07-2014 - 14:14
Cho 3 số thực $a, b, c$. Chứng minh rằng $\sum {{{\left( {a + b} \right)}^4}} \ge \frac{4}{7}\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right)$
Mình chứng minh bài này dựa vào bất đẳng thức sau:
$\sum (x+y-z)^{4}\leq 28\sum (x^{4})$ (*)
Khi đó, nếu ta đặt x=a+b, y=b+c, z=c+a thì $a=\frac{x+z-y}{2},b=\frac{x+y-z}{2},c=\frac{y+z-x}{2}$, thay vào bất đẳng thức ban đầu, biến đổi ra (*) là một BĐT đúng. Việc biến đổi tương đương này mình nghĩ không mấy khó khăn, phần còn lại là CM (*) thế nào
Ở đây mình xuất phát từ đẳng thức sau:
$(x+y)^{4}+(x-y)^{4}=2x^{4}+12x^{2}y^{2}+2y^{4}$
Ta có:$[(x+y)+z]^{4}+[(x+y)-z]^{4}+[z-(x-y)]^{4}+[z+(x-y)]^{4}=2(x+y)^{4}+12(x+y)^{2}z^{2}+2z^{4}+2z^{4}+12(x-y)^{2}z^{2}+2(x-y)^{4}=2[(x+y)^{4}+(x-y)^{4}]+12z^{2}[(x+y)^{2}+(x-y)^{2}]+4z^{4}=4\sum (x^{4})+24\sum (x^{2}y^{2})\leq 28\sum x^{4}$
Lại do $(x+y+z)^{4}\geq 0$ nên suy ra BĐT (*) đúng.
Bài toán chứng minh xong
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PolarBear154: 17-07-2014 - 14:15
Trong bất cứ hoàn cảnh công việc nào, không cúi đầu trước cái ác, không lùi trước hiểm nạn. Nhìn thẳng và đi trên con đường mình đã chọn: con đường mà sự nhẫn nại bao dung là những bước đi tới, hành trang là những ước mơ vô cùng bé nhỏ- chỉ xin làm một cành dương tưới trên cuộc đời đầy rẫy khô khát và bất trắc...
#4
Đã gửi 03-04-2021 - 12:07
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh