Chủ đề này có 6 trả lời

[Near Ryuzaki]

Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ thoả mãn phương trình hàm $$f(x+y)+f(xy)=f(x)+f(y)+f(x)f(y),\forall x,y\in\mathbb{R}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 08-07-2014 - 07:09

[thuan192]

Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ thoả mãn phương trình hàm $$f(x+y)+f(xy)=f(x)+f(y)+f(x)f(y),\forall x,y\in\mathbb{R}$$

Bạn vào http://diendantoanho...hlinksro/page-4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuan192: 08-07-2014 - 09:12

[gatoanhoc1998]

Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ thoả mãn phương trình hàm $$f(x+y)+f(xy)=f(x)+f(y)+f(x)f(y),\forall x,y\in\mathbb{R}$$

Thay x=y=0 có f(0)=0 thay y=0 có f(x)=0 

thử lại tm

Vậy f(x)=0

[Tran Nho Duc]

Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ thoả mãn phương trình hàm $$f(x+y)+f(xy)=f(x)+f(y)+f(x)f(y),\forall x,y\in\mathbb{R}$$

 

Thay x=y=0 có f(0)=0 thay y=0 có f(x)=0 

thử lại tm

Vậy f(x)=0

Đâu có đơn giản thế đâu ban !!!  

[Tran Nho Duc]

Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ thoả mãn phương trình hàm $$f(x+y)+f(xy)=f(x)+f(y)+f(x)f(y),\forall x,y\in\mathbb{R}$$ $(1)$

 

Nếu $f$ là hàm hằng thì $f(x)\equiv 0$

Nếu $f$ không phải hàm hằng và $f(x)\not\equiv 0$.

Ta có :

$(1)\Leftrightarrow f(xy)=f(x)f(y)+f(x)+f(y)-f(x+y), \forall x\in R (2)$

Từ $(2)$ lấy $x=y=0$ được $f(0)=0$.Từ $(1)$ , lấy $y=1$ được :

$f(x)=f(x)f(1)+f(x)+f(1)-f(x+1), \forall x\in R \Leftrightarrow f(1)[f(x)+1]=f(x+1),\forall x\in R (3)$

Nếu $f(1)=0$ thì từ $(3)$ suy ra $f(x+1)=0$ , $\forall x\in R$, hay $f$ là hàm hằng, vô lí.

Vậy $f(1)\neq 0$.Trong $(3)$ cho $x=-1$ được $f(1)[f(-1)+1]=0\Leftrightarrow f(-1)=-1.$

Trong $(2)$ , cho $x=y=-1$ được $f(1)=f^{2}(-1)+2f(-1)-f(-2)=-1-f(-2).$

Trong $(3)$ , cho $x=-2$ ta được :

$f(1)[f(-2)+1]=-1\Rightarrow -f^{2}(1)=-1\Leftrightarrow f(1)=1,f(1)=-1$

Nếu $f(1)=-1$ thì từ $(2)$ cho $y=-1$ được :

$f(-x)=-f(x)+f(x)-1-f(x-1),\forall x\in R \Leftrightarrow f(-x)=-[1+f(x-1)]=f(1)[1+f(x-1)]\overset{do (3)}{=}f(x),\forall x\in R$

Trong $(2)$ , lấy $y=x$ được 

$f(x^{2})=f^{2}(x)+2f(x)-f(2x)\Leftrightarrow f^{2}(x)=f(x^{2})-2f(x)+f(2x). (4)$

Trong $(1)$ lấy $y=-x$ , ta được :

$f(-x^{2})=f(x)f(-x)+f(x)+f(-x)\Rightarrow f(x^{2})=f^{2}(x)+2f(x).$

Kết hợp với $(4)$ suy ra 

$f(x^{2})=f(x^{2})-2f(x)+f(2x)+2f(x)\Rightarrow f(2x)=0, \forall x\in R$

Từ đó $f(x)=0$,$ \forall x\in R$, hay $f$ là hàm hằng , vô lí. Vậy $f(1)=1$.

Kết hợp vs $(3)$ ta được

$f(x)+1=f(x+1),\forall x\in R (5)$, c/m quy nạp ta được :

$f(a)=a,\forall a\in R;f(x+a)=f(x)+f(a),\forall x\in R, a\in Z$

Với mọi $x\in R, a\in Z$ :

$f(a.x)=f(a)f(x)+f(a)+f(x)-f(a+x)=af(x)$

Suy ra $f(-x)=-f(x ),f(2x)=2f(x)$ nên, với mọi $x\in Q$, $\exists p\in Z,q\in Z^{*}$ sao cho $x=\frac{p}{q}$ và :

$qf(x)=f(qx)=f(p)=p\Rightarrow f(x)\Leftrightarrow f(x)=x,\forall x\in Q.(6)$

Trong $(1)$ cho $y=x$ ta được ! $f(x^{2})=f^{2}(x)+2f(x)-f(2x)=f^{2}(x),\forall x\in R$

 Do đó với $x\geq 0$ thì $f(x)=[f(\sqrt{x})]^{2}\geq 0.$ Còn vs $x\leq 0$ thì $-x\geq 0$ 

$\Rightarrow f(x)=-f(-x)\leq 0.$.Ta cũng c/m được :

$f(\frac{x}{n})=f(n.\frac{x}{n})=f(x)\Rightarrow f(\frac{x}{n})=\frac{f(x)}{n}$.sau đó ta c/m :

$f(c+q)=q+f(x),\forall x\in R,\forall q\in Q .(7)$

Giả sử $q=\frac{a}{b}.a\in Z,b\in Z^{*}$. khi đó

$f(x+q)=f(x+\frac{a}{b})=\frac{1}{b}.f(bx+a)=\frac{f(bx)+a}{b}=f(x)+q.$

Ta có : Luôn $\exists r\in Q$ sao cho $y<r<x$

$f(x)=f(x-r)+r\geq r\geq r+f(y-r)=f(y)$

Mất mất tính t.quát , g.sử $f(x)\geq x$.Xét e là số hữu tỉ sao cho $x<r<f(x)$.Vì $r\in Q$ nên $f(r)=r$, suy ra $f(x)\geq r=f(r)$, dẫn tới $r\leq x$.Vậy $x<r\leq x$ , vô lí. Từ đây suy ra $f(x)=x$, $\forall x\in R$.

Sau khi thử lại , ta đưa ra KL :  Có 2 h/s thỏa mãn y/c đề bài là $f(x)=x, \forall x\in R$ và $f(x)=0, \forall x\in R$.

[Kool LL]

Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ thoả mãn phương trình hàm $f(x+y)+f(xy)=f(x)+f(y)+f(x)f(y),\forall x,y\in\mathbb{R}$ (1)

$(1)\overset{y=0}{\Rightarrow}f(x).f(0)=0,\ \forall x\Rightarrow\left[\begin{matrix}f(x)=0,\forall x\\f(0)=0\end{matrix}\right.$

 

Nếu $f(0)=0$ :

$(1)\overset{y=1}{\Rightarrow} f(x+1)=f(1).[f(x)+1],\ \forall x$ (2)

$(2)\overset{x=-1}{\Rightarrow}0=f(1).[f(-1)+1]\Rightarrow\left[\begin{matrix}f(1)=0\\f(-1)=-1\end{matrix}\right.$

• nếu $f(1)=0$ : $(2)\Rightarrow f(x+1)=0,\ \forall x\Rightarrow f(x)=0,\ \forall x$.
• nếu $f(1)\ne0\ ;\ f(-1)=-1$ :

$(1)\overset{y=-1}{\Rightarrow}f(x-1)+f(-x)=-1,\ \forall x$ $\Rightarrow f(-x-1)+f(x)=-1,\ \forall x$ (3) $\overset{x=\frac{-1}{2}}{\Rightarrow}f(\frac{-1}{2})=\frac{-1}{2}$.

$(2)(3)\Rightarrow f(x+1)=-f(1).f(-x-1),\ \forall x\Rightarrow f(-x)=-f(1).f(x)=C.f(x),\ \forall x$ với $C=-f(1)$ (4)

$(1)\overset{y=-x}{\Rightarrow}f(-x^2)=f(x)+f(-x)+f(x).f(-x)\overset{(4)}{\Rightarrow}C.[f(x^2)-f^2(x)]=(C+1).f(x),\ \forall x$ (5)

$(1)\overset{y=x}{\Rightarrow}f(2x)+f(x^2)=2f(x)+f^2(x)\overset{(5)}{\Rightarrow} C.[2.f(x)-f(2x)]=(C+1).f(x)$ $\Rightarrow f(2x)=\left(\frac{C-1}{C}\right).f(x)$

$\overset{x=-1/2}{\Rightarrow}f(\frac{-1}{2})=\frac{C}{1-C}=\frac{-1}{2}\Rightarrow C=-1\Rightarrow f(1)=1$

Do đó : $f(x+1)=f(x)+1\ ;\ f(2x)=2f(x)\ ;\ f(-x)=-f(x)\ ;\ f(x^2)=f^2(x)\ ,\ \forall x$

$(1)\overset{y\leftrightarrow-y}{\Rightarrow}f(x-y)-f(xy)=f(x)-f(y)-f(x).f(y),\ \forall x,y$ (6)

$(1)(6)\Rightarrow f(x+y)+f(x-y)=2f(x)=f(2x),\ \forall x,y$

$\Rightarrow f(u)+f(v)=f(u+v),\ \forall u,v$ khi đặt $x=\frac{u+v}{2}\ ;\ y=\frac{u-v}{2}$

$\overset{(1)}{\Rightarrow}f(u.v)=f(u).f(v),\ \forall u,v$

Do đó hàm $f$ vừa cộng tính, vừa nhân tính nên theo tiêu chuẩn hàm Cauchy suy ra $f(x)=x,\ \forall x$

Vậy $f(x)=0,\forall x$    hoặc    $f(x)=x,\forall x$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 09-07-2014 - 22:57

[bachhammer]

Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ thoả mãn phương trình hàm $$f(x+y)+f(xy)=f(x)+f(y)+f(x)f(y),\forall x,y\in\mathbb{R}$$

Nhân bài này mình xin nêu thêm một số dạng tương tự: (quy ước $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$)

1. $f(x-y)+f(xy)=f(x)-f(y)+f(x)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$

2. $f(x+y)+f(x)f(y)=f(x)+f(y)+f(xy),\forall x,y\in\mathbb{R}$

3. $f(x+y)+f(x)f(-y)=f(x)+f(y)-f(xy),\forall x,y\in \mathbb{R}$

Hai bài cuối khó hơn bài đầu........một tí....