Chủ đề này có 4 trả lời

[Viet Hoang 99]

$1/$

Cho $a;b;c>0$ thoả $abc=1$. Cmr:
$\frac{2}{(a+1)^2+b^2+1}+\frac{2}{(b+1)^2+c^2+1}+\frac{2}{(c+1)^2+a^2+1}\leq 1$

$2/$

Cho $a;b;c>0$. Cmr:
$\frac{b^2c^3}{a^2(b+c)^3}+\frac{c^2a^3}{b^2(c+a)^3}+\frac{a^2b^3}{c^2(a+b)^3}\geq \frac{9abc}{4(3abc+ab^2+bc^2+ca^2)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 12-07-2014 - 20:49

[Kir]

$1/$

Cho $a;b;c>0$ thoả $abc=1$. Cmr:
$\frac{2}{(a+1)^2+b^2+1}+\frac{2}{(b+1)^2+c^2+1}+\frac{2}{(c+1)^2+a^2+1}\leq 1$

$2/$

Cho $a;b;c>0$. Cmr:
$\frac{b^2c^3}{a^2(b+c)^3}+\frac{c^2a^3}{b^2(c+a)^3}+\frac{a^2c^3}{c^2(a+b)^3}\geq \frac{9abc}{4(3abc+ab^2+bc^2+ca^2)}$

Bài 1: BĐT tương đương: $\sum \frac{2}{a^{2}+2a+2+b^{2}}$

Áp dụng AM-GM ta có: $VT\leq \sum \frac{1}{ab+a+1}$

Dễ dàng chứng minh được: $\sum \frac{1}{ab+a+1}=1$ với abc=1

...

[lahantaithe99]

 

$2/$

Cho $a;b;c>0$. Cmr:
$\frac{b^2c^3}{a^2(b+c)^3}+\frac{c^2a^3}{b^2(c+a)^3}+\frac{a^2b^3}{c^2(a+b)^3}\geq \frac{9abc}{4(3abc+ab^2+bc^2+ca^2)}$

 

BĐT cần chứng minh tương đương

 

$A=\left [ ab(b+c)+bc(a+c)+ac(a+b) \right ]\left [ \sum \frac{bc^2}{a^3(b+c)^3} \right ]\geqslant \frac{9}{4}$

 

BĐT này luôn đúng vì theo Cauchy Schwarz:

 

$A\geqslant (\frac{bc}{ab+ac}+\frac{ac}{ab+bc}+\frac{ab}{bc+ac})^2\geqslant \frac{9}{4}$ (BĐT Nesbit)

 

Vậy ta có đpcm

--------------------------

 

P/s: trá hình

[Viet Hoang 99]

 

$2/$

Cho $a;b;c>0$. Cmr:
$\frac{b^2c^3}{a^2(b+c)^3}+\frac{c^2a^3}{b^2(c+a)^3}+\frac{a^2b^3}{c^2(a+b)^3}\geq \frac{9abc}{4(3abc+ab^2+bc^2+ca^2)}$

Các bạn nghĩ sao khi đặt $(a;b;c)=\left(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\right)$

[nguyenhongsonk612]

BĐT cần chứng minh tương đương

 

$A=\left [ ab(b+c)+bc(a+c)+ac(a+b) \right ]\left [ \sum \frac{bc^2}{a^3(b+c)^3} \right ]\geqslant \frac{9}{4}$

 

BĐT này luôn đúng vì theo Cauchy Schwarz:

 

$A\geqslant (\frac{bc}{ab+ac}+\frac{ac}{ab+bc}+\frac{ab}{bc+ac})^2\geqslant \frac{9}{4}$ (BĐT Nesbit)

 

Vậy ta có đpcm

--------------------------

 

P/s: trá hình

BĐT nesbit tổng quát như thế nào nhỉ huynh ơi, đệ chỉ biết cho $3,4$ số thôi