Chủ đề này có 4 trả lời

[Hajimemashite]

Cho dãy số không âm $u_n$ thỏa mãn : $4{u_{n + 2}} \le \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{1}{{n + k}}} \right)} {u_{n + 1}} + \sum\limits_{k = 0}^{2n} {\left( {\frac{1}{{2n + k}}} \right)} {u_n}$ . Chứng minh dãy có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hajimemashite: 12-07-2014 - 09:33

[PolarBear154]

Cho dãy số không âm $u_n$ thỏa mãn : $4{u_{n + 2}} \le \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{1}{{n + k}}} \right)} {u_{n + 1}} + \sum\limits_{k = 0}^{2n} {\left( {\frac{1}{{2n + k}}} \right)} {u_n}$

Bạn gì ơi đề kiểu gì thế? Mình chưa tìm thấy yêu cầu

[Hajimemashite]

Bạn gì ơi đề kiểu gì thế? Mình chưa tìm thấy yêu cầu

à lần đầu đăng nên tớ cũng không rõ.
yêu cầu là : chứng minh dãy có giới hạn và tìm giới hạn đó

[kelacloi]

Ta có : 

$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} <1 \forall n \ge 1$

$ \sum_{k=0}^{2n} \frac{1}{2n+k} <1 \forall n \ge 1$

 

bởi thế ta suy ra : $ 4u_{n+2} \le u_{n+1}+u_n$ (*)

Đặt $M_n= max( u_n,u_{n-1}) \forall n \ge 2 \rightarrow M_n \ge 0$

 

sử dụng (*), ta chứng minh được $M_n $ là dãy giảm.

mặc khác dùng (*), ta suy ra : $ 4u_{n+2} \ge 2M_{n+1}$  và $4u_{n+3} \le 2M_{n+2} \le 2M_{n+1}$

nên suy ra $ 4max(u_{n+2},u_{n+3} ) \le 2M_{n+1}$

hay $ M_{n+3} \le \frac{1}{2}.M_{n+1}$

 

từ đấy suy ra $\lim M_n = 0$

$\Rightarrow \lim u_n=0 $

[Hajimemashite]

Ta có : 

$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} <1 \forall n \ge 1$

$ \sum_{k=0}^{2n} \frac{1}{2n+k} <1 \forall n \ge 1$

 

bởi thế ta suy ra : $ 4u_{n+2} \le u_{n+1}+u_n$ (*)

Đặt $M_n= max( u_n,u_{n-1}) \forall n \ge 2 \rightarrow M_n \ge 0$

 

sử dụng (*), ta chứng minh được $M_n $ là dãy giảm.

mặc khác dùng (*), ta suy ra : $ 4u_{n+2} \ge 2M_{n+1}$  và $4u_{n+3} \le 2M_{n+2} \le 2M_{n+1}$

nên suy ra $ 4max(u_{n+2},u_{n+3} ) \le 2M_{n+1}$

hay $ M_{n+3} \le \frac{1}{2}.M_{n+1}$

 

từ đấy suy ra $\lim M_n = 0$

$\Rightarrow \lim u_n=0 $

hình như phải là : 4U_n+2$\leq$ 2M_n+1 nhỉ