Chủ đề này có 2 trả lời

[cat love math]

Cho mình hỏi: Từ điều kiện  x = f(f(x)) - a (với a là hằng số) ta có thể suy ra được f là song ánh không? Nếu có thì làm thế nào?

[thukilop]

Cho mình hỏi: Từ điều kiện  x = f(f(x)) - a (với a là hằng số) ta có thể suy ra được f là song ánh không? Nếu có thì làm thế nào?

$f$ là song ánh. Giả sử tồn tại $x_1,x_2 $ sao cho $f(x_1)=f(x_2)$ thì $f(f(x_1))=f(f(x_2)) \Leftrightarrow  x_1=x_2$ Suy ra $f$ đơn ánh. Thay $x$ bởi $x+a$ thì $f(f(x+a))=x$, VP là hàm bậc nhất ẩn $x$ phủ toàn bộ R nên hàm f toàn ánh suy ra f song ánh

p/s: Muốn biết toàn ánh hay hok, cứ xem 1 trong 2 vế có bậc nhất hay hok rồi tìm cách dồn về ẩn đó (như ở trên dồn về ẩn $x$) (cách này giải quyết được đa số thôi)

[Kool LL]

Cho mình hỏi: Từ điều kiện  $x = f(f(x)) - a$ (với $a$ là hằng số) ta có thể suy ra được $f$ là song ánh không? Nếu có thì làm thế nào?

Với đề hỏi quá vắn tắt như vậy thì câu trả lời là $f$ chưa chắc là song ánh vì còn phải xét đến tập xác định và miền giá trị của $f$. Nhưng chắc chắn $f$ là đơn ánh.

Thật vậy : Với $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=f[f(x_1)]-a=f[f(x_2)]-a=x_2$. Suy ra $f$ là đơn ánh.

 

1/ Nếu như cho $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thì $f$ là song ánh. Thật vậy :

(gt) $\Rightarrow f[f(x)]=x+a,\ \forall x\overset{y=x+a}{\Rightarrow}f[f(y-a)]=y,\ \forall y$

$\Rightarrow \forall y\in\mathbb{R},\ \exists z=f(y-a)\in\mathbb{R}$ sao cho $f(z)=y$. Suy ra $f$ là toàn ánh.

$f$ vừa đơn ánh vừa toàn ánh nên là song ánh.

 

2/ Nếu như cho $f: A\to B$ , với $A\ne\mathbb{R}$ hoặc $B\ne\mathbb{R}$ thì $f$ không là toàn ánh. Khi đó $f$ không là song ánh.

Thật vậy, theo như trong TH $(1)$ ta thấy $\forall y\in B$ cần phải có $y-a\in A$ và $f(y-a)\in A$ thì mới $\exists z : f(z)=y$.

Tức là $\forall y\in B$ thì cần : $y\in A+\{a\}$ và $f(y-a)\in A$. Như vậy thì $B\subset A+\{a\}$ và $f(A)\subset A$ (**)

Dễ thấy với $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ thì không thoả (**).