Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1-\frac{9}{16}xy$.Tìm GTLN $P=xy+yz+zx$
Trong quá trình làm mình thấy có 2 lời giải # đáp số. Phiền các bạn kiểm tra giúp mình cái nào đúng và tại sao cái kia lại sai 
Lời giải 1:
Tách $1=\alpha +(1-\alpha )$
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{9}{16}xy=1$
$\Leftrightarrow \alpha (x^{2}+y^{2})+ (1-\alpha )x^{2}+\frac{z^{2}}{2}+(1-\alpha )y^{2}+\frac{z^{2}}{2}+\frac{9}{16}xy=1$
$VT\geq (2\alpha+\frac{9}{16}) .xy+\sqrt{2(1-\alpha )}yz+\sqrt{2(1-\alpha )}xz$
Cần tìm $\alpha$ để các hệ số $xy,yz,zx$ = nhau.
$\Rightarrow 2\alpha +\frac{9}{16}=\sqrt{2(1-\alpha )}\Rightarrow \alpha =\frac{12\sqrt{5}-17}{32}$
$\Rightarrow P\leq \frac{1}{6\alpha }=\frac{16(12\sqrt{5}+17)}{1293}$
Lời giải 2:
Giả sử dấu = Xảy ra tại $x=y=a,z=b$.
$\left\{\begin{matrix} k(x^{2}+y^{2})\geq 2k.xy & & \\ b^{2}y^{2}+a^{2}z^{2}\geq 2ab.yz& & \\b^{2}x^{2}+a^{2}z^{2}\geq 2ab.xz& &\\t.xy=t.xy\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow xy(2k+t)+2ab.yz+2ab.zx\leq (k+b^{2})(x^{2}+y^{2})+2a^{2}.z^{2}+t.xy$
Ta có hệ $\left\{\begin{matrix} 2k+t=2ab & & \\ k +b^{2}=2a^{2}=16/9.t& & \\ 41a^{2}+16b^{2}=16 \end{matrix}\right.$
Giải hệ trên ta tìm đc $2b^{2}+2ab-\frac{41}{8}a^{2}=0\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{3\sqrt{5}-2}{4}\Rightarrow a=\sqrt{\frac{8}{45-6\sqrt{5}}}...$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 12-07-2014 - 23:39
)
