Chủ đề này có 1 trả lời

[hoctrocuanewton]

Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1 . Chứng minh rằng :

$(a+b)(b+c)(a+c)+\frac{72}{\sqrt{a+b+c+1}}\geqslant 44$

[25 minutes]

Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1 . Chứng minh rằng :

$(a+b)(b+c)(a+c)+\frac{72}{\sqrt{a+b+c+1}}\geqslant 44$

Ta có $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)-1$

Áp dụng AM-GM ta có 

   $(ab+bc+ca)^2 \geqslant 3abc(a+b+c)=3(a+b+c)\Rightarrow ab+bc+ca \geqslant \sqrt{3(a+b+c)}$

Do đó $P\geqslant (a+b+c)\sqrt{3(a+b+c)}-1+\frac{72}{\sqrt{a+b+c+1}}$

Đặt $t=a+b+c \geqslant t$ $\Rightarrow P\geqslant f(t)= t\sqrt{3t}-1+\frac{72}{\sqrt{t+1}}$

   $\Rightarrow f'(t)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\sqrt{t}-\frac{36}{(t+1)^{\frac{3}{2}}}=0\Leftrightarrow t=3$

Lập bảng biến thiên ta có ngay $f(t) \geqslant f(3)=44$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$