1 reply to this topic

[Viet Hoang 99]

Cho $a;b;c>0$ thỏa $abc=1$. Cmr:

$\sum \frac{1}{a+b+1}\leq \sum \frac{1}{2+a}$

[Yagami Raito]

Cho $a;b;c>0$ thỏa $abc=1$. Cmr:
$\sum \frac{1}{a+b+1}\leq \sum \frac{1}{2+a}$

Cách 1:
Ta Sử Dụng Các BĐT phụ sau:
$\boxed{1}$ $\dfrac{2}{a+2}-\dfrac{1}{a+ca+1}\geq \dfrac{1}{a+b+1}. $
Chứng minh:

$ \dfrac{2}{a+2}-\dfrac{b}{ab+b+1}-\dfrac{1}{a+b+1}=\dfrac{a(b-1)^2}{(a+2)(ab+b+1)(a+b+1)}. \ge 0$

$\boxed{2}$ $\sum_{cyc}\dfrac{1}{a+b+1}\leq 1. $
Chứng minh:

Đặt $ a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{y}{z},c=\dfrac{z}{x}\\$
Bất Đẳng thức cần chứng minh là $M=\sum_{cyc}\dfrac{yz}{y^2+yz+zx}\le 1. \\$
Ta có $M=\sum_{cyc}\dfrac{yz(x^2+yz+zx)}{(y^2+yz+zx)(x^2+yz+zx)}\leq \sum_{cyc}\dfrac{x^2yz+y^2z^2+xyz^2}{(xy+yz+zx)^2}=1. $

$\boxed{3}$ Dễ dàng chứng minh $\sum \dfrac{1}{a+ca+1}=1$ với $abc=1$

Từ đó ta có $ \sum (\dfrac{2}{a+2}-\dfrac{1}{a+ca+1})=\sum (\dfrac{2}{a+2})-1 \geq \sum (\dfrac{2}{a+2})- \sum \dfrac{1}{a+b+1} \ge \sum \dfrac{1}{a+b+1} $
$\Leftrightarrow \sum (\dfrac{2}{a+2}) \ge 2 \sum \dfrac{1}{a+b+1}$
Ta có điều phải chứng minh, Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$


Cách 2

bulgaria97 inequality

Edited by Yagami Raito, 15-07-2014 - 20:44.