Chủ đề này có 1 trả lời

[Trang Luong]

Cho $a, b, c$ là 3 số thực dương thỏa mãn $a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2$

Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c)}}$

[lahantaithe99]

Cho $a, b, c$ là 3 số thực dương thỏa mãn $a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2$

Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c)}}$

 

$Gt\rightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2=4\rightarrow \sum \sqrt{ab}=1$

 

Do đó 

 

$Vt=\sum \frac{\sqrt{a}}{1+a}=\sum \frac{\sqrt{a}}{\sum \sqrt{ab}+a}=\sum \frac{\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}$

 

$\Leftrightarrow Vt=\frac{2\sum \sqrt{ab}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}=\frac{2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}$

 

Mà

 

$Vp=\frac{2}{\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2(\sqrt{c}+\sqrt{a})^2}}=Vt$

 

Do đó có đpcm