Chủ đề này có 6 trả lời

[Trinh Cao Van Duc]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c\leq \frac{3}{2}$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$S=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$

[Viet Hoang 99]

 

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c\leq \frac{3}{2}$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$S=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$

$S\geq \sqrt{(a+b+c)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\geq \sqrt{\left ( \sum a \right )^2+\frac{81}{\left ( \sum a \right )^2}}=\sqrt{\left ( \sum a \right )^2+\frac{81}{16\left ( \sum a \right )^2}+...}$

$AM-GM$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 15-07-2014 - 21:16

[mnguyen99]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c\leq \frac{3}{2}$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$S=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$

áp dụng bđt minicopski

$S\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(\sum \frac{1}{a})^{2}}$$\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+\frac{81}{(a+b+c)^{2}} }\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+\frac{81}{16(a+b+c)^{2}}+\frac{1215}{16(a+b+c)^{2}}}\geq \sqrt{\frac{9}{2}+\frac{135}{4}}\geq \sqrt{\frac{153}{4}}$

[chardhdmovies]

theo bđt mincopxki ta được $S\geq \sqrt{(a+b+c)^2+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}\geq \sqrt{(a+b+c)^2+\frac{81}{(a+b+c)^2}}$

đặt $t=(a+b+c)^2\leq \frac{9}{4}$

do đó ta tìm GTNN của $t+\frac{81}{t}=t+\frac{81}{16t}+\frac{1215}{16t}\geq \frac{3}{2}+\frac{1215}{16.\frac{3}{2}}=..$

[chardhdmovies]

áp dụng bđt minicopski

$S\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(\sum \frac{1}{a})^{2}}$$\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+\frac{81}{(a+b+c)^{2}} }\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+\frac{81}{16(a+b+c)^{2}}+\frac{1215}{16(a+b+c)^{2}}}\geq \sqrt{\frac{9}{2}+\frac{135}{4}}{\color{Red} \geq } \sqrt{\frac{153}{4}}$

chỗ đó là dấu =

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 15-07-2014 - 21:18

[toanc2tb]

Ta có:

$\frac{3}{2}\geq a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq\frac{1}{8}$

$S=\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}=\sum\sqrt{a^2+\underset{16 \textit{số}}{\underbrace{\frac{1}{16b^2}+...+\frac{1}{16b^2}}}}$

 $\geq \sum\sqrt{17\sqrt[17]{\frac{a^2}{(16b^2)^{16}}}} \textit{ (AM-GM)}=\sqrt{17}.\sum \sqrt[17]{\frac{a}{(16b^2)^8}} \textit{ (} \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} \textit{)}$

 $\geq 3\sqrt{17}.\sqrt[3]{\sqrt[17]{\frac{abc}{(16^3a^2b^2c^2)^8}}}=3\sqrt{17}.\sqrt[17]{\sqrt[3]{\frac{abc}{(16^3a^2b^2c^2)^8}}}=3\sqrt{17}.\sqrt[17]{\frac{1}{16^8(abc)^5}}$

 $=3\sqrt{17}.\sqrt[17]{\frac{1}{2^{32}(abc)^5}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\sqrt[17]{\frac{1}{(2a.2b.2c)^5}} \geq\frac{3\sqrt{17}}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{2}$

Vậy $minS=\frac{3\sqrt{17}}{2} \textit{ khi và chỉ khi } a=b=c=\frac{1}{2}$

[huythcsminhtan]

Cách mới nè :

 

Áp dụng BĐT $Cacuhy-Schwarz$ có : $(16+1)(a^2+\frac{1}{b^2}) \ge (a+\frac{4}{b})^2$

 

$\leftrightarrow \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}} \ge \frac{a+\frac{4}{b}}{\sqrt{17}}$

 

Thành lập các bđt tương tự rồi cộng lại ta có :

 

$\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}} \ge \frac{(a+b+c)+4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}{\sqrt{17}} \ge \frac{(\sum a)+\frac{36}{\sum a}}{\sqrt{17}}$

 

Đặt $\sum a =t$ và áp dụng BĐT $ AM-GM$ ta có : 

 

$\frac{t+\frac{36}{t}}{\sqrt{17}} \ge \frac{t+\frac{9}{4t}+\frac{135}{4t}}{\sqrt{17}} \ge \frac{2\sqrt{\dfrac{9t}{4t}}+\frac{135}{4.\frac{3}{2}}}{\sqrt{17}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$

 

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huythcsminhtan: 16-07-2014 - 10:12