Chủ đề này có 3 trả lời

[phamxuanvinh08101997]

Cmr : \[C_n^k \] lẻ với mọi k\[ \in \left\{ {1,2,...,n} \right\}\] khi và chỉ khi n có dạng \[n = 2^m  - 1\]

 

 

      

[LNH]

Cmr : \[C_n^k \] lẻ với mọi k\[ \in \left\{ {1,2,...,n} \right\}\] khi và chỉ khi n có dạng \[n = 2^m  - 1\]

Theo định lý Kummer, luỹ thừa của $2$ trong $C^k_n$ bằng số lần nhớ trong phép tính $n-k$ trong hệ cơ số $2$

Nếu $n=2^m-1$ thì $n=\overline{11..1}_2$ thì $n-k$ sẽ không có lần nhớ nào nên $C^k_n$ lẻ với mọi $k \leq n$

Nếu $n \neq 2^m-1$ thì trong biểu diễn nhị phân của $n$ có ít nhất một số $0$, vì vậy tồn tại $k \leq n$ để $n-k$ có ít nhất một lần nhớ, suy ra tồn tại $C^k_n$ chẵn

Ta có đpcm

[phamxuanvinh08101997]

bạn có thể trình bày bằng cách dùng định lí Lucas không . Cảm ơn bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamxuanvinh08101997: 16-07-2014 - 19:30

[Zaraki]

Lời giải. Gỉa sử biểu diễn dưới dạng hệ cơ số $2$ của $k,n$ là $k= \sum_{i=0}^{l}a_{i}2^i,n=\sum_{i=0}^l b_i2^i$ với $a_i,b_i \in \{0;1 \}$. Khi đó theo định lý Lucas thì $$\binom{n}{k} \equiv \prod_{i=0}^{l} \binom{b_i}{a_i} \pmod{2}; \; a_i,b_i \in \{0;1 \}.$$

Nếu tồn tại $0 \le j \le l$ thỏa mãn $b_j<a_j$ thì $\binom{n}{k}$ là số chẵn. Do đó $\binom{n}{k}$ lẻ khi và chỉ khi $b_i \ge a_i$ với mọi $0 \le i \le l$, đồng nghĩa với việc $b_i=1$ với mọi $1 \le i \le l$. Khi đó $n=2^{l+1}-1=2^m-1$. $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 17-07-2014 - 07:04