Chủ đề này có 1 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán : Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $a$ và $SA=SB=SC=a$,trong đó a là một số thực dương cho trước.

(1) Chứng minh rằng $SD <\sqrt{3}a$

(2)Xác định độ dài cạnh $SD$ theo $a$ để khối chóp $S.ABCD$ có thể tích lớn nhất.

------------------------

(Đồng Nai)

[maitram]

Bài toán : Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $a$ và $SA=SB=SC=a$,trong đó a là một số thực dương cho trước.

(1) Chứng minh rằng $SD <\sqrt{3}a$

(2)Xác định độ dài cạnh $SD$ theo $a$ để khối chóp $S.ABCD$ có thể tích lớn nhất.

------------------------

(Đồng Nai)

$(1)$ Nghĩ không ra vì không còn nhớ gì về bất đẳng thức tam giác

$(2)$ Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy

$\Rightarrow$ $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

$\Rightarrow H\in BD$

Dễ dàng chứng minh đuợc $AC\perp (SBD)$

$\Rightarrow O=BD\cap AC$ là hình chiếu của $A$ lên $(SBD)$

Mà lại có : $SA=AB=AD=a$ $\Rightarrow$ $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta SBD$

$\Rightarrow$ $\Delta SBD$ vuông tại $S$

Đặt $SD=x$

Ta có : $SH.BD=SB.SD$ $\Rightarrow$ $SH=\frac{SB.SD}{BD}$

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{SB.SD}{BD}.\frac{1}{2}.AC.BD=\frac{1}{3}.AB.SD.OA$

mà $OA^{2}=AB^{2}-\frac{BD^{2}}{4}=a^{2}-\frac{a^{2}+x^{2}}{4}=\frac{3a^{2}-x^{2}}{4}$

$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{6}.a.x.\sqrt{3a^{2}-x^{2}}$

Áp dụng BĐT Cauchy : $x.\sqrt{3a^{2}-x^{2}}\leq\frac{x^{2}+3a^{2}-x^{2}}{2}=\frac{3a^{2}}{2}$

$\Rightarrow V_{S.ABCD}\leq\frac{1}{6}.a.\frac{3a^{2}}{2}=\frac{a^{3}}{4}$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x^{2}=3a^{2}-x^{2}$ $\Leftrightarrow x=\frac{a\sqrt{6}}{2}$