1. Cho $a.b.c$ là các số thực dương tuỳ ý. CMR: $2^{a^{2}}+2^{b^{2}}+2^{c^{2}}\geq 2^{ab}+2^{bc}+2^{ca}$
2. Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương thoả mãn $a+b+c=3$ thì $$\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}c}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq 1$$
3. Cho $a,b,c$ là các số thực dương tuỳ ý. Chứng minh rằng $$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$$
Giải:
Bài 1:
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có:
$2^{a^{2}}+2^{b^{2}}\geq 2\sqrt{2^{a^{2}+b^{2}}}\geq 2\sqrt{2^{2ab}}=2.2^{ab}$
Thiết lập các BĐT tương tự, cộng lại rồi rút gọn cho $2$ ta có đpcm
Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c>0$
Bài 2:
Chắc là $\leq 1$
Áp dụng BĐT $\frac{1}{x+y+z}\leq \frac{1}{9}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$, ta có:
$\sum \frac{a^2b}{2a+b}\leq \sum \frac{a^2b}{9}(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})=\sum (\frac{2ab}{9}+\frac{a^2}{9})=\frac{(a+b+c)^2}{9}=1$ (đpcm)
Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$
Bài 3:
BĐT cần chứng minh $2(\sum \frac{ab}{c^2})\geq \sum (\frac{a}{c}+\frac{b}{c})$
Áp dụng BĐT $AM-GM$ cho $3$ số ta có:
$\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ab}{c^2}\geq \frac{3a}{c}$
$\frac{bc}{a^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ab}{c^2}\geq \frac{3b}{c}$
$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{bc}{a^2}\geq \frac{3b}{a}$
$\frac{bc}{a^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{3c}{a}$
$\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{3c}{b}$
$\frac{ca}{b^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}\geq \frac{3a}{b}$
Cộng các BĐT trên lại rồi rút gọn cho $3$ ta có đpcm
Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c>0$