Chủ đề này có 2 trả lời

[letankhang]

Cho $a;b;c$ là các số thực dương thoả mãn : $abc=a+b+c$. Chứng minh rằng :
$\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}}\geq 1$

[canhhoang30011999]

Cho $a;b;c$ là các số thực dương thoả mãn : $abc=a+b+c$. Chứng minh rằng :
$\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}}\geq 1$

ta có $\frac{a}{b^{3}}+\frac{1}{ab} \geq \frac {2}{b^{2}}$

tương tự ta có

$\sum \frac{a}{b^{3}} +\sum \frac{1}{ab} \geq \sum \frac{2}{b^{2}} \geq \sum \frac{2}{ab}$

$ => \sum \frac{a}{b^{3}} \geq \sum \frac {1}{ab} =1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 18-07-2014 - 10:24

[letankhang]

Cho $a;b;c$ là các số thực dương thoả mãn : $abc=a+b+c$. Chứng minh rằng :
$\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}}\geq 1$

1 cách khác 
Áp dụng BĐT Cauchy :
$\Rightarrow \frac{a}{b^{3}}+\frac{a}{b^{3}}+\frac{1}{a^{2}}\geq \frac{3}{a^{2}}$
Chứng minh tương tự với các BĐT còn lại và cộng vế theo vế 
$\Rightarrow \sum \frac{a}{b^{3}}\geq \sum \frac{1}{a^{2}}$
Vậy ta cần chứng minh :
$\sum \frac{1}{a^{2}}\geq \sum \frac{1}{ab}$
$\Leftrightarrow \sum a^{2}b^{2}\geq abc(a+b+c)$ $(1)$
Mặt khác :
$\sum a^{2}b^{2}\geq \frac{(\sum ab)^{2}}{3}$
Ta có : $(ab-bc)^{2}+(bc-ca)^{2}+(ca-ab)^{2}\geq 0\Rightarrow 3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ca)^{2}\Rightarrow \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}\geq abc(a+b+c)$
Suy ra $(1)$ được chứng minh
$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{2}}\geq \sum \frac{1}{ab}=1\Rightarrow \sum \frac{a}{b^{3}}\geq 1$
Dấu $=$ xảy ra : $\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}$
Vậy ta có $Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 18-07-2014 - 10:34