Chủ đề này có 7 trả lời

[caybutbixanh]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương $2^{x}+3^{y}=z^{2}$

[bangbang1412]

Xét $x\geq 2$ ta có $3^{y}\equiv z^{2}\equiv 1(mod4)$ vậy hiển nhiên $y$ chẵn đặt $y=2a$ ta có

                                                                 $2^{x} = (z - 3^{a})(z+3^{a})$

Tồn tại cặp số $(m,n)$ mà $m+n=x$ và

                                                               $z - 3^{a} = 2^{m}$

                                                               $z + 3^{a} = 2^{n}$

Cộng vế $2z = 2^{m}(2^{n-m}+1)$ hay $z = 2^{m-1}(2^{n-m}+1)$ lại thấy $z$ lẻ nên $m=1$ và $z=2^{n-1}+1$

Thế vào phương trình đầu $z  - 2 = 2^{n-1}-1=3^{a}$ và $2^{n}-2^{n-1}-1=3^{a}$

Ta có $3^{a}+1=2^{n-1}$ , mặt khác $v_{2}(3^{a}+1)=2+v_{2}(a) = n-1$ hay $v_{2}(a)=n-3$ đặt $a=k2^{n-3}$ quy nạp là được  

Do đó $2^{n}=2(2^{n-1}-1)$ hiển nhiên không xảy ra

Với $x = 1$ ta có $3^{y}+2=z^{2}$ không thể xảy ra vì $y=0$ không có nghiệm còn $y>0$ thì $z^{2}$ không chia $3$ dư $2$ .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 19-07-2014 - 20:43

[caybutbixanh]

Xét $x\geq 2$ ta có $3^{y}\equiv z^{2}\equiv 1(mod4)$ vậy hiển nhiên $y$ chẵn đặt $y=2a$ ta có

                                                                 $2^{x} = (z - 3^{a})(z+3^{a})$

 

Bạn cho mình hỏi căn cứ vào đâu để chắc chắn rằng $y$ phải chẵn không được lẻ ?

[bangbang1412]

Bạn cho mình hỏi căn cứ vào đâu để chắc chắn rằng $y$ phải chẵn không được lẻ ?

$y$ lẻ thì $3^{y}=(4-1)^{y}\equiv -1(mod4)$

[Melodyy]

Thế vào phương trình đầu $z  - 2 = 2^{n-1}-1=3^{a}$ và $2^{n}-2^{n-1}-1=3^{a}$

Do đó $2^{n}=2(2^{n-1}-1)$ hiển nhiên không xảy ra

 

Đoạn này sai rồi !

[bangbang1412]

Đoạn này sai rồi !

à mà sai gì thế

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 19-07-2014 - 19:43

[Melodyy]

à mà sai gì thế

$3^{2}=2^{n-1}-1=2^{n}-2^{n-1}-1\Rightarrow 2^{n}=2.2^{n-1}$ (đúng hiển nhiên)

[caybutbixanh]

Xin lỗi mọi người mình lỡ đăng bài này lần thứ 2 (thứ nhất ở đây )

Xin lỗi mọi người vì sơ suất này...

làm phiền mod gộp chung hai topic này lại giúp mình với..lần sau mình sẽ không bất cẩn nữa...