Chủ đề này có 23 trả lời

[Messi10597]

$\bigstar$ VD 11:

 

$\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+7ab+b^2}}\geq 1$

 

$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$

 

 

$dpcm\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{1+7\frac{b}{a}+\frac{b^{2}}{a^{2}}}}\geq 1$

Đặt : $\sqrt{\frac{b}{a}}=x;\sqrt{\frac{c}{b}}=y;\sqrt{\frac{a}{c}}=z\Rightarrow xyz=1$

BĐT trở thành $\sum \frac{1}{\sqrt{x^{4}+7x^{2}+1}}\geq 1$

Ta chứng minh $\frac{1}{\sqrt{x^{4}+7x^{2}+1}}\geq \frac{1}{x^{2}+x+1}$ (1)

Thật vậy : 

      $(1)\Leftrightarrow (x^{2}+x+1)^{2}-(x^{4}+7x^{2}+1)\geq 0\Leftrightarrow 2x(x-1)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{x^{4}+7x^{2}+1}}\geq \sum \frac{1}{x^{2}+x+1}\geq 1$

[tap lam toan]

Sao ta lại có đánh giá " hiển nhiên" này? 

 

$\frac{1}{(a+1)^2}\geq \frac{3}{4(a^2+a+1)}$

 

Có phương pháp hay chỉ là .. mò mẫm?

Đương nhiên có phương pháp, nhưng đối với bài này ta chỉ cần mò mẫm thôi, vì hình dạng của $\dfrac{1}{(a+1)^{2}}$ khá giống với $\dfrac{1}{a^{2}+a+1}$ nên chỉ cần nháp qua là được
Để hiểu rõ hơn tớ sẽ phân tích lời giải cho bài toán sau

Với $a,b,c$ dương thỏa tích của chúng bằng $1$. CMR: $\sum_{cyc} \dfrac{a+3}{(a+1)^{2}}\geq 3$

đầu tiên ta thấy bất đẳng thức có dạng $f(a)+f(b)+f(c)\geq 3$ với $f(x)=\dfrac{x+3}{(x+1)^{2}}$ Do dấu của bđt là $\geq$ nên ý tưởng chính là ta sẽ sử dụng  $\sum \dfrac{1}{a^{2m}+a^{m}+1}\geq 1$,Do $VP=3$ nên ta xét đánh giá phụ sau
Tìm số thực $m$ để đánh giá sau là đúng $\dfrac{x+3}{\left ( x+1 \right )^{2}}\geq \dfrac{3}{x^{2m}+x^{m}+1}$
Đặt $f(x)=\dfrac{x+3}{\left ( x+1 \right )^{2}}-\dfrac{3}{x^{2m}+x^{m}+1}$, ta cần tìm $m$ sao cho $f(x)$ không đổi dấu khi đi qua $x=1$ (đa số các bài toán dạng này có điểm rơi là 1), tức là $f'(x)$ có nghiệm $=1$.
Ta có (Chú ý ta chỉ cần tính $f'(1)=0$ nên ko cần thu gọn biểu thức đạo hàm)
$$f'(x)=\frac{(x+1)^{2}-2(x+1)(x+3)}{(x+1)^{4}}+\frac{3\left ( 2mx^{2m-1}+mx^{m-1} \right )}{(x^{2m}+x^{m}+1)^{2}}$$
$$\Rightarrow f'(1)=0\Leftrightarrow -\frac{3}{4}+m=0\Rightarrow m=\frac{3}{4}$$
Đây chỉ là điều kiện cần, phần trình bày bài toán ta chỉ cần điều kiện đủ sau
Theo trên, nếu ta đặt $x\rightarrow x^{4}$ thì ta sẽ có đánh giá 
$$\frac{x^{4}+3}{(x^{4}+1)^{2}}\geq \frac{3}{x^{6}+x^{3}+1}\Leftrightarrow x^{3}\left ( x^{5}+2x^{4}-x^{2}+x+3 \right )\left ( x-1 \right )^{2}\geq 0$$
Do đó ta có đpcm
$$\sum \frac{a+3}{(a+1)^{2}}\geq 3\sum \frac{1}{a^{\frac{6}{4}}+a^{\frac{3}{4}}+1}\geq 3$$

Qua bài này cho thấy ko phải lúc nào chúng ta cũng may mắn mò được, vì bài này rất chặt so với những bài toán khác 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 19-07-2014 - 17:02

[megamewtwo]

 

$\bigstar$ VD 9:

 

$\sum \frac{1}{3a^2+(a-1)^2}\geq 1$

 

 

 

 

 nhận xét : $a^{4}+a^{2}+1-\left ( 3a^{2}+\left ( a-1 \right )^{2} \right )= a\left ( a-1 \right )^{2}\left ( a+2 \right )\geq 0$

$\sum \frac{1}{3a^{2}+\left ( a-1 \right )^{2}}\geq \sum \frac{1}{a^{4}+a^{2}+1}\geq 1$

[tap lam toan]

điều kiện $a,b,c$ dương thỏa mãn tích của chúng bằng $1$.  Chứng minh  bđt sau
$\bigstar $ VD2: 
$$\frac{a}{a^{2}+3}+\frac{b}{b^{2}+3}+\frac{c}{c^{2}+3}\leq \frac{3}{4}$$

Do chiều của bđt là $\leq$ nên ta sẽ chọn đánh giá $\sum \dfrac{a^{m}+1}{a^{2m}+a^{m}+1}\leq 2$
Tức là ta sẽ tìm $m$ sao cho $$\frac{x}{x^{2}+3}\leq \frac{3}{8}\left (\frac{x^{m}+1}{x^{2m}+x^{m}+1}  \right )$$
Phân tích tương tự như trên, ta tìm được $m=-1$. Các bạn tự kiểm chứng đánh giá sau nhé 
$$\Rightarrow \frac{x}{x^{2}+3}\leq \frac{3}{8}.\frac{x^{-1}+1}{x^{-2}+x^{-1}+1}=\frac{3}{8}.\frac{x^{2}+x}{x^{2}+x+1}$$
sử dụng kết quả 2 cho ta đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 20-07-2014 - 08:35