Chủ đề này có 3 trả lời

[nguyenhongsonk612]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn 

$$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$.

Chứng minh rằng: 

$$(ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2\geq 27$$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 18-07-2014 - 19:48

[tap lam toan]

Tồn tại các số $x,y,z$ sao cho $a\rightarrow \sqrt{\dfrac{xy}{z}};b\rightarrow \sqrt{\dfrac{zx}{y}};c\rightarrow \sqrt{\dfrac{yz}{x}}\Rightarrow x=ab,y=bc,z=ca$. Bài toán trở thành
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $x+y+z=xy+yz+zx$. CMR 
$$\left ( x+y+z \right )\left ( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right )^{2}\geq 27=27.\frac{\left ( xy+yz+zx \right )^{2}}{\left ( x+y+z \right )^{2}}$$
Đến đây bđt đồng bậc, bỏ qua điều kiện bài toán, ta chuẩn hóa $x+y+z=3$. Tức là chỉ còn chứng minh bài toán quen thuộc sau
$$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+zx$$
Có thể xem thêm tại đây 

http://www.artofprob...4825a1#p2560802

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 18-07-2014 - 20:34

[Rias Gremory]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn 

$$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$.

Chứng minh rằng: 

$$(ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2\geq 27$$

 

Tồn tại các số $x,y,z$ sao cho $a\rightarrow \sqrt{\dfrac{xy}{z}};b\rightarrow \sqrt{\dfrac{zx}{y}};c\rightarrow \sqrt{\dfrac{yz}{x}}\Rightarrow x=ab,y=bc,z=ca$. Bài toán trở thành
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $x+y+z=xy+yz+zx$. CMR 
$$\left ( x+y+z \right )\left ( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right )^{2}\geq 27

 

Tiếp cho phần này nhé !!

$\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{x+y+z}}$

BĐT viết lại dưới dạng : $\sum \sqrt{\frac{x}{x+y+z}}\geq \frac{3\sqrt{3}(xy+yz+zx)}{(x+y+z)^{2}}$

$\Leftrightarrow 2(\sum \sqrt{\frac{x}{x+y+z}})+\frac{3\sqrt{3}(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{(x+y+z)^{2}}\geq 3\sqrt{3}$

Theo AM-GM thì $\frac{3\sqrt{3}x^{2}}{(x+y+z)^{2}}+\sqrt{\frac{x}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{x}{x+y+z}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{x+y+z}$

Như vậy 

$VT\geq 3\sqrt{3}(\sum \frac{x}{x+y+z})=3\sqrt{3}=VP$ ( ĐPCM ) 

[nghiemthanhbach]

Tiếp cho phần này nhé !!

$\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{x+y+z}}$

BĐT viết lại dưới dạng : $\sum \sqrt{\frac{x}{x+y+z}}\geq \frac{3\sqrt{3}(xy+yz+zx)}{(x+y+z)^{2}}$

$\Leftrightarrow 2(\sum \sqrt{\frac{x}{x+y+z}})+\frac{3\sqrt{3}(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{(x+y+z)^{2}}\geq 3\sqrt{3}$

Theo AM-GM thì $\frac{3\sqrt{3}x^{2}}{(x+y+z)^{2}}+\sqrt{\frac{x}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{x}{x+y+z}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{x+y+z}$

Như vậy 

$VT\geq 3\sqrt{3}(\sum \frac{x}{x+y+z})=3\sqrt{3}=VP$ ( ĐPCM ) 

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \geq xy+yz+zx$ với $x+y+z=3$ là bđt quen thuộc của ptnk

$\left\{\begin{matrix} x^2+2\sqrt{x}\geq 3x \\ y^2+2\sqrt{y}\geq 3y\\ z^2+2\sqrt{z}\geq 3z \end{matrix}\right.\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\geq 3x+3y+3z=9=(x+y+z)^2\Leftrightarrow \sum \sqrt{x}\geq \sum xy$