Chủ đề này có 3 trả lời

[Viet Hoang 99]

Cho $x\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x^2+(3-x)^2\geq 5$. Tìm $Min$ của $P=x^4+(3-x)^4+6x^2(3-x)^2$

[NMDuc98]

 

Cho $x\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x^2+(3-x)^2\geq 5$. Tìm $Min$ của $P=x^4+(3-x)^4+6x^2(3-x)^2$

 

Đặt: $y=3-x$.Khi đó ta cần giải quyết bài toán:

Cho $x,y$ thay đổi thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x+y=3\\x^2+y^2 \ge 5 \end{matrix}\right.$.Tìm $Min$ của $P=x^4+y^4+6x^2y^2$.

Từ $x+y=3$ ta có:

$$x^2+y^2+2xy=9~~~~(1)\\ \Rightarrow (x^2+y^2)^2+4x^2y^2+4xy(x^2+y^2)=81\\ \Rightarrow x^4+y^4+6x^2y^2+4xy(x^2+y^2)=81\\\Rightarrow P=81-4xy(x^2+y^2)~~~~(*)$$

Từ $(1)$ ta lại có: $2xy=9-(x^2+y^2)$.Thế vào $(*)$ ta được:

$$P=81-2\left [ 9-2(x^2+y^2) \right ](x^2+y^2)=81-18(x^2+y^2)+2(x^2+y^2)^2$$

Đặt: $t=x^2+y^2 \ge 5$ ta có:

$$P=2t^2-18t+81=2(t-5)^2+2(t-5)+41\geq 41$$

Dấu $=$ xảy ra khi $t=5 \Rightarrow ... \Rightarrow x=1$ hoặc $x=2$.

Kết luận!

 

Từ

[phamquanglam]

 

Cho $x\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x^2+(3-x)^2\geq 5$. Tìm $Min$ của $P=x^4+(3-x)^4+6x^2(3-x)^2$

 

Thề là bài này nhìn rất, rất nhiều lần luôn rồi!!!!!!     Phát chán luôn!

Từ giả thiết: $x^{2}+(3-x)^{2}\geq 5\Leftrightarrow (x+3-x)^{2}\geq 5+2x(3-x)\Leftrightarrow 9\geq 5+2x(3-x)\Leftrightarrow x(3-x)\leq 2$

Ta làm:

$P=x^{4}+(3-x)^{4}+6x^{2}(3-x)^{2}=\left [ x^{2}+(3-x)^{2} \right ]^{2}+4x^{2}(3-x)^{2}=\left [ (x+3-x)^{2}-2x(3-x) \right ]^{2}+4x^{2}(3-x)^{2}=\left [ 9-2x(3-x) \right ]^{2}+4\left [ x(3-x) \right ]^{2}$

Đặt: $t=x(3-x)\leq 2$

$\Rightarrow P=(9-2t)^{2}+4t^{2}=8t^{2}-36t+81=8(t-2)^{2}+49-4t\geq 49-4t\geq 41$

[Viet Hoang 99]

Đặt: $y=3-x$.Khi đó ta cần giải quyết bài toán:

Cho $x,y$ thay đổi thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x+y=3\\x^2+y^2 \ge 5 \end{matrix}\right.$.Tìm $Min$ của $P=x^4+y^4+6x^2y^2$.

Từ $x+y=3$ ta có:

$$x^2+y^2+2xy=9~~~~(1)\\ \Rightarrow (x^2+y^2)^2+4x^2y^2+4xy(x^2+y^2)=81\\ \Rightarrow x^4+y^4+6x^2y^2+4xy(x^2+y^2)=81\\\Rightarrow P=81-4xy(x^2+y^2)~~~~(*)$$

Từ $(1)$ ta lại có: $2xy=9-(x^2+y^2)$.Thế vào $(*)$ ta được:

$$P=81-2\left [ 9-2(x^2+y^2) \right ](x^2+y^2)=81-18(x^2+y^2)+2(x^2+y^2)^2$$

Đặt: $t=x^2+y^2 \ge 5$ ta có:

$$P=2t^2-18t+81=2(t-5)^2+2(t-5)+41\geq 41$$

Dấu $=$ xảy ra khi $t=5 \Rightarrow ... \Rightarrow x=1$ hoặc $x=2$.

Kết luận!

 

Từ

Sai chỗ màu đỏ anh!