Chủ đề này có 2 trả lời

[HoangHungChelski]

Một số tính chất số học (yêu cầu phải chứng minh)

1, CMR: Nếu $b\mid ac$ thì $b\mid (a,b)(b,c)$

2, Cho $a\in \mathbb{N};a\geq 2$. CMR: $(a^m-1,a^n-1)=a^{(m,n)}-1\forall m,n\in \mathbb{N^*}$

3, Cho $a,b\in \mathbb{N^*},(a,b)=1$. CMR: $(a^m-b^m;a^n-b^n)=a^{(n,m)}-b^{(m,n)}\forall m,n\in \mathbb{N^*}$

4. Cho $a,b\in \mathbb{Z}, c\in \mathbb{N^*}$ thỏa $(a,b)=1,ab=c^n$. 
CMR: $\exists u,v\in \mathbb{Z}: a=u^n;b=v^n$

5, Cho $a,b,l,m\in \mathbb{N^*}$ thỏa $(l,m)=1,a^l=b^m$
CMR: $\exists n\in \mathbb{N^*}: a=n^m,n=n^l$

6, Cho $a,b\in \mathbb{N^*},(a,b)=1$. CMR: $\forall n>ab;n\in \mathbb{Z}$ thì $\exists x,y\in \mathbb{N^*}$ sao cho $n=ax+by$

7, CMR: $\forall m,n\in \mathbb{Z^+}$ lẻ thì $(2^m-1,2^n+1)=1$

8, CMR: $\forall n\in \mathbb{N^*}$ thì $(n!+1,(n+1)!+1)=1$.


 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangHungChelski: 21-07-2014 - 08:09

[bangbang1412]

Một số tính chất số học (yêu cầu phải chứng minh)


2, Cho $a\in \mathbb{N};a\geq 2$. CMR: $(a^m-1,a^n-1)=a^{(m,n)}-1\forall m,n\in \mathbb{N^*}$
8, CMR: $\forall n\in \mathbb{N^*}$ thì $(n!+1,(n+1)!+1)=1$.


 

$2$ , Ta xét bài toán với $(a^{m}-1,a^{n}-1)=a-1$ với $(m,n)=1$ giả sử $g=(a^{m}-1,a^{n}-1)$ thì rõ ràng $a-1|g$

Tồn tại $u,v$ mà $mu - nv=1$ nên $g|a^{m}-1$ và $g|a^{n}-1$ nên $g|a^{mu}-1$ và $g|a^{nv}-1$

Do đó $g|a^{nv}(a^{mu-nv}-1)=a^{nv}(a-1)$ , $(a,g)=1$ nên $g|a-1$ nên $g=a-1$

Đặt $d=(m,n)$ ta có $(a^{m}-1,a^{n}-1)=((a^{d})^{m'} - 1, (a^{d})^{n'}-1)=a^{d}-1$

$8$ .Ta đặt $(n!+1,(n+1)!+1)=d$ thì $d|(n+1)! + n+1$ nên $d|n$ và $d|n!+1$ do đó $d=1$

$3$ Tương tự số $2$ . 

$5$ Tồn tại $r,s$ mà $lr-ms=1$ ta có $a= a^{lr-ms} = \frac{a^{lr}}{a^{ms}} = \frac{b^{mr}}{a^{ms}} = (\frac{b^{r}}{a^{s}})^{m}$

Từ đó $\sqrt[m]{a}$ hữu tỷ nên nó nguyên từ đó có đpcm . 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 20-07-2014 - 11:42

[Trang Luong]

Một số tính chất số học (yêu cầu phải chứng minh)

1, CMR: Nếu $b\mid ac$ thì $b\mid (a,b)(b,c)$
 

• Nếu $(a,b)=1$ thì  $b\mid c$ và $b\mid (a,b)(b,c)$ đúng
• Nếu $(c,b)=1$ thì  $b\mid a$ và $b\mid (a,b)(b,c)$ đúng
• Nếu $(a,b),(b,c)\neq 1$. Ta đặt $b=mn$ với $mn\in\mathbb{N}^*$

Giả sử $m\mid a,n\mid c\Rightarrow a=mp,c=nq\Rightarrow ac=mnpq\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (a,b)=m.p'\\ (b,c)=n.q' \end{matrix}\right.\left ( p',q'\in\mathbb{N}^* \right )\Rightarrow b\mid (a,b).(b,c)$

Vậy ta có đpcm