Chủ đề này có 7 trả lời

[ilikemath9]

1. Cho a,b,c là các số dương thõa mãn a+b+c=3. Chứng minh:

a. $\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}\geq 1$

 

b. $\frac{a^{2}}{a+2b^{3}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{3}}+ \frac{c^{2}}{c+2a^{3}}\geq 1$

 

2. Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{2a(a+b)^{3}}+b\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\leq 3\left ( a^{2}+b^{2} \right )$

 

3. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2a+b}{a\left (a+2b \right )}+\frac{2b+c}{b\left ( b+2c \right )}+\frac{2c+a}{c\left ( c+2a \right )}$

 

4.Cho x,y,z$\epsilon$$\mathbb{R}$ thỏa x+y+z=5 và xy+yz+zx=8. Chứng minh rằng: $1\leq x\leq \frac{7}{3}$

 

5. Cho a,b,c > 0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng: $\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )\left ( c+a \right )\geq \left (ab+c \right )\left ( bc+a \right )\left (ca+b \right )$

 

6. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+\left ( c+a-b \right )^{2}}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+(a+b-c)^{2}}\leq 1$

[thuan192]

1. Cho a,b,c là các số dương thõa mãn a+b+c=3. Chứng minh:

a. $\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}\geq 1$

Sử dụng BĐT AM-GM cho 3 số 

 $\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}=a-\frac{2ab^{2}}{a+2b^{2}}\geq a-\frac{2ab^{2}}{3\sqrt[3]{ab^{4}}}=a-\frac{2\left ( ab \right )^{\frac{2}{3}}}{3}$

Xử lý tương tự hai phần tử còn lại 

Lấy tổng suy ra đpcm

[thuan192]

1. Cho a,b,c là các số dương thõa mãn a+b+c=3. Chứng minh:

 

b. $\frac{a^{2}}{a+2b^{3}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{3}}+ \frac{c^{2}}{c+2a^{3}}\geq 1$

Tương tự câu a ta đưa về dạng

 $b\sqrt[3]{a^{2}}+c\sqrt[3]{b^{2}}+a\sqrt[3]{c^{2}}\leq 3$

Sau đó sử dụng AM-GM ta có

 $ba^{\frac{2}{3}}\leq b\left ( 2a+1 \right );cb^{\frac{2}{3}}\leq c\left ( 2b+1 \right );ac^{\frac{2}{3}}\leq a\left ( 2c+1 \right )$

Cộng 3 bđt trên ta có đpcm

[megamewtwo]

 

2. Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{2a(a+b)^{3}}+b\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\leq 3\left ( a^{2}+b^{2} \right )$

 

Áp dụng COsi$\sqrt{2a\left ( a+b \right )^{3}}=\sqrt{\left ( 2a^{2}+2ab \right )\left ( a^{2}+2ab+b^{2} \right )}\leq \frac{3a^{2}+4ab+b^{2}}{2}$   (1)

$b\sqrt{2\left ( a^{2}+b^{2} \right )}= \sqrt{\left ( 2b^{2}\left ( a^{2}+b^{2} \right ) \right )}\leq \frac{a^{2}+3b^{2}}{2}$         (2)

(1)+(2) $\Rightarrow$ Đpcm   

[canhhoang30011999]

1. Cho a,b,c là các số dương thõa mãn a+b+c=3. Chứng minh:

a. $\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}\geq 1$

 

b. $\frac{a^{2}}{a+2b^{3}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{3}}+ \frac{c^{2}}{c+2a^{3}}\geq 1$

 

2. Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{2a(a+b)^{3}}+b\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\leq 3\left ( a^{2}+b^{2} \right )$

 

3. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2a+b}{a\left (a+2b \right )}+\frac{2b+c}{b\left ( b+2c \right )}+\frac{2c+a}{c\left ( c+2a \right )}$

 

4.Cho x,y,z$\epsilon$$\mathbb{R}$ thỏa x+y+z=5 và xy+yz+zx=8. Chứng minh rằng: $1\leq x\leq \frac{7}{3}$

 

5. Cho a,b,c > 0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng: $\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )\left ( c+a \right )\geq \left (ab+c \right )\left ( bc+a \right )\left (ca+b \right )$

 

6. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+\left ( c+a-b \right )^{2}}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+(a+b-c)^{2}}\leq 1$

3 ta cần cm

$ \frac{2}{3a}+\frac{1}{3b}\geq \frac{2a+b}{a(a+2b)}$(biến đổi tương đương)

thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm

[nguyenhongsonk612]

5. Cho a,b,c > 0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng: $\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )\left ( c+a \right )\geq \left (ab+c \right )\left ( bc+a \right )\left (ca+b \right )$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

$(ab+c)(bc+a)\leq \frac{[b(a+c)+a+c]^2}{4}=\frac{(a+c)^2(b+1)^2}{4}$

Tương tự

$(bc+a)(ca+b)\leq \frac{(a+b)^2(c+1)^2}{4}$ và $(ca+b)(ab+c)\leq \frac{(b+c)^2(a+1)^2}{4}$

Nhân các BĐT trên theo vế ta có:

$\prod (ab+c)\leq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)(a+1)(b+1)(c+1)}{8}$

Như vậy ta cần C/m $\prod(a+1) \leq8$ là xong

Áp dụng BĐT $AM-GM$ cho $3$ số ta có:

$\prod (a+1)\leq \frac{(\sum a+3)^3}{27}=\frac{6^3}{27}=8$

BĐT được C/m xong

Dấu "=" khi $a=b=c=1$

[phamquanglam]

 

6. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+\left ( c+a-b \right )^{2}}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+(a+b-c)^{2}}\leq 1$

Chuẩn tắc $a+b+c=3$

Đặt: $x=b+c-a$; $y=c+a-b$; $z=a+b-c$

$\Rightarrow x+y+z=3$

Và: $\frac{x+y}{2}=c; \frac{y+z}{2}=a; \frac{z+x}{2}=b$

Do đó BĐT được viết lại là:

$\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}}\leq 1\Rightarrow \sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}}\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}}{2(\frac{y+z}{2})^{2}+x^{2}}\geq 1\Rightarrow \sum \frac{2x^{2}}{(y+z)^{2}+2x^{2}}\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{2x^{2}}{2x^{2}+(3-x)^{2}}\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}}{3x^{2}-6x+9}\geq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x^{2}-2x+3}+\frac{y^{2}}{y^{2}-2y+3}+\frac{z^{2}}{z^{2}-2z+3}\geq \frac{3}{2}$

Chứng minh:

Trong 3 số $x,y,z$ có ít nhất 2 số cùng bé hơn hoặc lớn hơn 1.

Giả sử 2 số đó là $y,z$ 

Ta có: $(y-1)(z-1)\geq 0\Leftrightarrow yz-(y+z)+1\geq 0\Leftrightarrow \frac{1}{2}(y+z)^{2}-(y+z)+1\geq \frac{1}{2}(y^{2}+z^{2})\Leftrightarrow (y+z)^{2}-2(y+z)+2\geq y^{2}+z^{2}\Leftrightarrow (3-x)^{2}-2(3-x)+2\geq y^{2}+z^{2}$

Ta lại có: $\sum \frac{x^{2}}{x^{2}-2x+3}\geq \frac{x^{2}}{x^{2}-2x+3}+\frac{(y+z)^{2}}{(y^{2}+z^{2}-2(y+z)+6)}=\frac{x^{2}}{x^{2}-2x+3}+\frac{(3-x)^{2}}{(3-x)^{2}-4(3-x)+8}\geq \frac{3}{2}$

Xét hàm 1 biến...........OK.

[TrongDuong]

 

4.Cho x,y,z$\epsilon$$\mathbb{R}$ thỏa x+y+z=5 và xy+yz+zx=8. Chứng minh rằng: $1\leq x\leq \frac{7}{3}$

 

 

Từ gt => $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ (1)

Thay $z=5-x-y$

$(1) \Leftrightarrow 2x^{2}+2y^{2}+2xy-10x-10y+16=0$

Xem như 1 pt ẩn x

$\Delta = -4(3x^{2}-10x+7)$

Mà pt có nghiệm nên delta ko âm

$\Rightarrow 3x^{2}-10+7\leqslant 0$

$\Leftrightarrow 1\leqslant x\leqslant \frac{7}{3}$

y,z tương tự