Chủ đề này có 6 trả lời

[Messi10597]

Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn $xyz=1$ ,Chứng minh rằng :

$\sqrt{\frac{6}{x^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{y^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{z^{3}+1}}\leq \sqrt{(x+y+z)^{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Messi10597: 20-07-2014 - 14:26

[lahantaithe99]

Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn $xyz=1$ ,Chứng minh rằng :

$\sqrt{\frac{6}{x^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{y^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{z^{3}+1}}\leq \sqrt{(x+y+z)^{3}}$

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki

 

$Vt^2\leqslant 3(\frac{6}{x^3+1}+\frac{6}{y^3+1}+\frac{6}{z^3+1})=18(\frac{1}{x^3+1}+\frac{1}{y^3+1}+\frac{1}{z^3+1})$

 

Ta đi chứng minh $18\sum\frac{1}{x^3+1}\leqslant (x+y+z)^3$

 

$\Leftrightarrow 18(3-\sum \frac{x^3}{x^3+1})\leqslant (x+y+z)^3\Leftrightarrow A=(x+y+z)^3+18\sum \frac{x^3}{x^3+1}\geqslant 54$

 

Có: $18\sum \frac{x^3}{x^3+1}=18\sum \frac{x^2}{x^2+yz}\geqslant \frac{18(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz}$

 

Do đó áp dụng $AM-GM$

 

$A\geqslant 2\sqrt{\frac{18(x+y+z)^5}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz}}$

 

Bằng $AM-GM$ ta có 

 

$(x+y+z)^6=\left [ x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz) \right ]^3\geqslant 27(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+xz)^2$

 

$\geqslant 81xyz(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)$ 

 

$\rightarrow (x+y+z)^5\geqslant 81(x^2+y^2+z^2)\geqslant \frac{81}{2}(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)$

 

Do đó $A\geqslant 2\sqrt{\frac{18.81}{2}}=54$

 

Do đó ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 21-07-2014 - 10:03

[Trang Luong]

Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn $xyz=1$ ,Chứng minh rằng :

$\sqrt{\frac{6}{x^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{y^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{z^{3}+1}}\leq \sqrt{(x+y+z)^{3}}$

Ta có : 

$\left (\sqrt{\frac{6}{x^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{y^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{z^{3}+1}} \right )^2\leq 3\left ( \sum \frac{6}{x^3+1} \right )=18\left ( \sum \frac{1}{x^3+1} \right )\leq 18.\frac{3}{1+xyz}=27$

mà $\left ( x+y+z \right )^3\geq \left ( 3\sqrt[3]{xyz} \right )^3=27$

Vậy $$\sqrt{\frac{6}{x^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{y^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{z^{3}+1}}\leq \sqrt{(x+y+z)^{3}}$$ đpcm

[lahantaithe99]

Ta có : 

$\left (\sqrt{\frac{6}{x^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{y^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{z^{3}+1}} \right )^2\leq 3\left ( \sum \frac{6}{x^3+1} \right )=$ $18\left ( \sum \frac{1}{x^3+1} \right )\leq 18.\frac{3}{1+xyz}=27$

mà $\left ( x+y+z \right )^3\geq \left ( 3\sqrt[3]{xyz} \right )^3=27$

Vậy $$\sqrt{\frac{6}{x^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{y^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{z^{3}+1}}\leq \sqrt{(x+y+z)^{3}}$$ đpcm

BĐT này sai với $x=0,25, y=0,5,z=8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 21-07-2014 - 15:20

[Trang Luong]

BĐT này sai với $x=0,25, y=0,5,z=8$

$x,y,z>0$ mà theo đề bài.

BĐT đấy áp dụng theo BĐT sau:

Cho $x_1,x_2,...x_n$ là các số thực dương thì ta có : $\sum ^{n}_{i=1}\frac{1}{x_i+1}\leq \frac{n}{1+\sqrt[n]{\prod_{n}^{i=1}x_i}}$ 

p/s: quên mất tên BĐT này là gì, chỉ nhớ đọc trong Sáng tạo BĐT

[lahantaithe99]

$x,y,z>0$ mà theo đề bài.

BĐT đấy áp dụng theo BĐT sau:

Cho $x_1,x_2,...x_n$ là các số thực dương thì ta có : $\sum ^{n}_{i=1}\frac{1}{x_i+1}\leq \frac{n}{1+\sqrt[n]{\prod_{n}^{i=1}x_i}}$ 

p/s: quên mất tên BĐT này là gì, chỉ nhớ đọc trong Sáng tạo BĐT

Mình không biết BĐT ấy là gì, nhưng khi thử vào với $xyz=1$ thì nó không đúng

[nguyenhongsonk612]

Ta có : 

$\left (\sqrt{\frac{6}{x^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{y^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{z^{3}+1}} \right )^2\leq 3\left ( \sum \frac{6}{x^3+1} \right )$$=18\left ( \sum \frac{1}{x^3+1} \right )\leq 18.\frac{3}{1+xyz}=27$

mà $\left ( x+y+z \right )^3\geq \left ( 3\sqrt[3]{xyz} \right )^3=27$

Vậy $$\sqrt{\frac{6}{x^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{y^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{z^{3}+1}}\leq \sqrt{(x+y+z)^{3}}$$ đpcm

TL ơi, mình nghĩ BĐT này chỉ có khi $0<x,y,z \leq1$ thôi mà!