Chủ đề này có 8 trả lời

[SweetCandy11]

 Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: $P= \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{23}+\sqrt{25}}$

 

Bài 2: a) Chứng minh rằng: $\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

Với n là 1 số nguyên dương

 

b) Tính :$\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2005\sqrt{2004}+2004\sqrt{2005}}$

 

Bài 3: Cho các $0<a,b< 1$ thỏa mãn $a+b=\sqrt{1-a^{2}}+\sqrt{1-b^{2}}.$Chứng minh: $a^{2}+b^{2}=1$

 

Bài 4: Chứng minh rằng: $\frac{1}{(1+\sqrt{2})^{4}}+\frac{1}{(1-\sqrt{2})^{4}}=34$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SweetCandy11: 23-07-2014 - 21:43

[A4 Productions]

 Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: $P= \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{23}+\sqrt{25}}$

$$P = \frac{1}{{\sqrt 1  + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3  + \sqrt 5 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {23}  + \sqrt {25} }}$$

$$P = \frac{{\sqrt 1  - \sqrt 3 }}{{1 - 3}} + \frac{{\sqrt 3  - \sqrt 5 }}{{3 - 5}} + ... + \frac{{\sqrt {23}  - \sqrt {25} }}{{23 - 25}}$$

$$P = \frac{{\sqrt 1  - \sqrt 3  + \sqrt 3  - \sqrt 5  + ... + \sqrt {23}  - \sqrt {25} }}{{ - 2}}$$

$$P = \frac{{1 - 5}}{{ - 2}} = 2$$

[Viet Hoang 99]

 Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: $P= \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{23}+\sqrt{25}}$

 

Bài 2: a) Chứng minh rằng: $\frac{1}{(x+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

 

b) Tính :$\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2005\sqrt{2004}+2004\sqrt{2005}}$

 

Bài 3: Cho các $0<a,b< 1$ thỏa mãn $a+b=\sqrt{1-a^{2}}+\sqrt{1-b^{2}}.$Chứng minh: $a^{2}+b^{2}=1$

 

Bài 4: Chứng minh rằng: $\frac{1}{(1+\sqrt{2})^{4}}+\frac{1}{(a-\sqrt{2})^{4}}=34$

Sai đề tùm lum @@

Bài 2:
$a)$

$VT=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}\left ( \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \right )}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}=VP$

$b)$

Áp dụng ý $a$

Bài 4:

$VT=\frac{(\sqrt{2}-1)^4}{1}+\frac{(\sqrt{2}+1)^4}{1}=34$

Bài 3:

Tạm thời chưa có ý tưởng gì

[nguyenhongsonk612]

Bài 3: Cho các $0<a,b< 1$ thỏa mãn $a+b=\sqrt{1-a^{2}}+\sqrt{1-b^{2}}.$Chứng minh: $a^{2}+b^{2}=1$

Giải:

Từ giả thiết ta có $\frac{(\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2})(\sqrt{1-a^2}-\sqrt{1-b^2})}{\sqrt{1-a^2}-\sqrt{1-b^2}}=a+b$ đk: $a \neq b$

$\Leftrightarrow \frac{(b-a)(a+b)}{\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}}-(a+b)=0\Leftrightarrow (a+b)(\frac{b-a}{\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}}-1)=0$

$\Rightarrow b-a=\sqrt{1-a^2}-\sqrt{1-b^2}\Leftrightarrow b+\sqrt{1-b^2}=a+\sqrt{1-a^2}\Leftrightarrow b^2+1-b^2+2b\sqrt{1-b^2}=a^2+1-a^2+2a\sqrt{1-a^2}\Leftrightarrow b\sqrt{1-b^2}=a\sqrt{1-a^2}\Leftrightarrow b^2(1-b^2)=a^2(1-a^2)\Leftrightarrow (a^2-b^2)(a^2+b^2-1)=0\Rightarrow a^2+b^2=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 23-07-2014 - 19:08

[A4 Productions]

 Chứng minh rằng: $\frac{1}{(1+\sqrt{2})^{4}}+\frac{1}{(a-\sqrt{2})^{4}}=34$

Ta có HĐT: ${\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}$ và ${\left( {a - b} \right)^4} = {a^4} - 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} + {b^4}$.

 

$${\text{VT = }}\frac{{{{(1 + \sqrt 2 )}^4} + {{(1 - \sqrt 2 )}^4}}}{{{{(1 + \sqrt 2 )}^4}{{(1 - \sqrt 2 )}^4}}} = \frac{{\left( {1 + 4\sqrt 2  + 12 + 8\sqrt 2  + 4} \right) + \left( {1 - 4\sqrt 2  + 12 - 8\sqrt 2  + 4} \right)}}{1} = 34 = {\text{VP}}$$

[SweetCandy11]

Sai đề tùm lum @@

Bài 2:
$a)$

$VT=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}\left ( \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \right )}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}=VP$

$b)$

Áp dụng ý $a$

Bài 4:

$VT=\frac{(\sqrt{2}-1)^4}{1}+\frac{(\sqrt{2}+1)^4}{1}=34$

Bài 3:

Tạm thời chưa có ý tưởng gì

Chỉ có sai bài 4 thôi

Còn các bài # đúng ý nguyên đề đó ạ

[Viet Hoang 99]

Chỉ có sai bài 4 thôi

Còn các bài # đúng ý nguyên đề đó ạ

Xem lại bài 2a

[SweetCandy11]

Sai đề tùm lum @@

Bài 2:
$a)$

$VT=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}\left ( \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \right )}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}=VP$

$b)$

Áp dụng ý $a$

Bài 4:

$VT=\frac{(\sqrt{2}-1)^4}{1}+\frac{(\sqrt{2}+1)^4}{1}=34$

Bài 3:

Tạm thời chưa có ý tưởng gì

Bài 2 đúng đề đó bạn
nhưng mình chưa hiểu cách tách của bạn, làm rõ hơn được ko :/

[Viet Hoang 99]

Bài 2 đúng đề đó bạn
nhưng mình chưa hiểu cách tách của bạn, làm rõ hơn được ko :/

Bài 2a lúc là $x$, lúc là $n$ ...

Sử dụng liên hợp!