Chủ đề này có 4 trả lời

[HoangHungChelski]

Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn: 
$$\left \{ \sqrt[3]{n} \right \}\leq \frac{1}{n}$$
với $\left \{ x \right \}$ là phần lẻ của $x$.

[Juliel]

Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn: 
$$\left \{ \sqrt[3]{n} \right \}\leq \frac{1}{n}$$
với $\left \{ x \right \}$ là phần lẻ của $x$.

Bổ đề : Cho số nguyên dương $n$. Nếu $n+1$ không là lập phương đúng thì $\left \lfloor \sqrt[3]{n+1} \right \rfloor=\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor$. 

Có thể chứng minh bổ đề này dễ dàng.

 

Bài toán :

 

Xét trường hợp $n+1$ không là lập phương đúng.

Ta thấy $n=1,2$ thỏa mãn. Và ta sẽ chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ mà $n\geq 3$ thì :

$$\left \{ \sqrt[3]{n} \right \}\geq \dfrac{1}{n}\Leftrightarrow n\sqrt[3]{n}-n\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor\geq 1\;\;\;\;(*)$$

Với $n=3$ thì dễ thấy $\left \{ \sqrt[3]{3} \right \}.3\geq 1$. Gỉa sử $(*)$ là đúng. Ta sẽ chứng minh :

$$(n+1)\sqrt[3]{n+1}-(n+1)\left \lfloor \sqrt[3]{n+1} \right \rfloor\geq 1$$

Theo bổ đề thì $\left \lfloor \sqrt[3]{n+1} \right \rfloor=\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor$, do đó chỉ cần chứng minh :

$$(n+1)\sqrt[3]{n+1}-(n+1)\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor\geq 1\Leftrightarrow \left ( (n+1)\sqrt[3]{n+1}-\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor \right )-n\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor\geq 1$$

Theo giả thiết quy nạp thì :

$$n\sqrt[3]{n}-n\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor\geq 1$$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh :

$$(n+1)\sqrt[3]{n+1}-\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor\geq n\sqrt[3]{n}\Leftrightarrow (n+1)\sqrt[3]{n+1}\geq n\sqrt[3]{n}+\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor$$

Dễ thấy điều này đúng vì :

$$(n+1)\sqrt[3]{n+1}\geq (n+1)\sqrt[3]{n}\geq n\sqrt[3]{n}+\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor$$

Theo nguyên lí quy nạp ta có :

$$\left \{ \sqrt[3]{n} \right \}.n\geq 1,\;\forall n\in \mathbb{N},n\geq 3$$

Như vậy trường hợp này chỉ có $n=1,2$ thỏa mãn.

 

Xét tiếp trường hợp $n+1$ là một lập phương đúng. Đặt $n+1=t^3\;\;(t\in \mathbb{N},t\geq 2)$. Dễ thấy được $\left \lfloor \sqrt[3]{t^3-1} \right \rfloor=t-1$.

Lúc này ta sẽ chứng minh rằng :

$$\left \{ \sqrt[3]{n} \right \}=\left \{ \sqrt[3]{t^3-1} \right \}\geq \dfrac{1}{2}$$

Thật vậy, ta có :

$$\sqrt[3]{t^3-1}\geq \left \lfloor \sqrt[3]{t^3-1} \right \rfloor=t-1\geq t-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \left \{ \sqrt[3]{t^3-1} \right \}=\sqrt[3]{t^3-1}-(t-1)\geq \dfrac{1}{2}$$

Từ đó có ngay :

$$\left \{ \sqrt[3]{n} \right \}.n\geq \dfrac{n}{2}\geq 1$$

Trường hợp này không tồn tại $n$ nguyên dương thỏa đề.

Đáp số bài toán là :

$$\boxed{n\in \left \{ 1,2 \right \}}$$

[HoangHungChelski]

Đáp số bài toán là :

$$\boxed{n\in \left \{ 1,2 \right \}}$$

Anh thử đáp án: $n\in \{k^3;2;9\}$ xem có đúng không?

[Juliel]

Anh thử đáp án: $n\in \{k^3;2;9\}$ xem có đúng không?

Bất đẳng thức này có thể giúp giải được bài toán này.Cách của anh chỉ chưa vét được nghiệm $n=9$ thôi, nó sai vì anh quy nạp thì phải liên tục trên N, nhưng ở đây quá trình quy nạp bị ngắt đoạn vì $n+1$ phải thỏa mãn ko là lập phương đúng. 

Em biết đáp án hẳn là biết lời giải. Em post lên đi. Lời giải dựa vào cái BĐT trên thì chủ yếu mang tính đại số hơn là số học. Vả lại nếu giấu cái BĐT kia đi mà lời giải lại đưa nó vô thì thiếu tự nhiên lắm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 26-07-2014 - 21:10

[HoangHungChelski]

Bất đẳng thức này có thể giúp giải được bài toán này.Cách của anh chỉ chưa vét được nghiệm $n=9$ thôi, nó sai vì anh quy nạp thì phải liên tục trên N, nhưng ở đây quá trình quy nạp bị ngắt đoạn vì $n+1$ phải thỏa mãn ko là lập phương đúng. 

Em biết đáp án hẳn là biết lời giải. Em post lên đi. Lời giải dựa vào cái BĐT trên thì chủ yếu mang tính đại số hơn là số học. Vả lại nếu giấu cái BĐT kia đi mà lời giải lại đưa nó vô thì thiếu tự nhiên lắm.

Em chưa có lời giải anh à   Em chỉ mò được đáp án thôi, em chưa bao giờ đăng bài lên mà biết trước đáp án cả.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangHungChelski: 27-07-2014 - 00:39