Chủ đề này có 1 trả lời

[DangHuyNgheAn]

$Cho: a,b,c\geq 0 thoaman:a+b+c=2.Tim MaxP=ab^2+bc^2+ca^2$

[Nguyen Chi Thanh 3003]

$Cho: a,b,c\geq 0 thoaman:a+b+c=2.Tim MaxP=ab^2+bc^2+ca^2$

không mất tính tổng quát giả sử $a=max\left \{ a;b;c \right \}$

Vì $c\leq a$ nên $bc^2\leq abc$

Vì $b\leq a$ nên $ab^2\leq ba^2$

Ta có 

$P=\frac{ab^2}{2}+\frac{ab^2}{2}+bc^2+ca^2$

$\Rightarrow P\leq \frac{ba^2}{2}+\frac{ab^2}{2}+abc+ca^2$

$=a\left ( ac+bc+\frac{ab}{2}+\frac{b^2}{2} \right )$

$=a\left ( a+b \right )\left ( c+\frac{b}{2} \right )$

$=4.\frac{a}{2}.\frac{a+b}{2}\left (c+\frac{b}{2}  \right )$

Áp dụng cô-si $3$ số $\left ( \frac{a}{2};\frac{a+b}{2};\left ( c+\frac{b}{2} \right ) \right )$ ta có

$P\leq 4.\left ( \frac{\frac{a}{2}+\frac{a+b}{2}+c+\frac{b}{2}}{2} \right )^3$

$\Leftrightarrow P\leq \frac{32}{27}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Chi Thanh 3003: 24-07-2014 - 20:16