Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $S=a{_{1}}^{2}+a{_{2}}^{2}+...+a{_{100}}^{2}$.Tìm các số $a_{1},a_{2},


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 naruto01

naruto01

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An

Đã gửi 28-07-2014 - 14:19

Cho các số thực $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}\geq 0$

Thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}\geq 0 \\ a_{1}+a_{2}\leq 2002\\a_{3}+a_{4}+...+a_{100}\leq 2002  \end{array} \right.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $S=a{_{1}}^{2}+a{_{2}}^{2}+...+a{_{100}}^{2}$.Tìm các số $a_{1},a_{2},...a_{100}$ tương ứng


:excl:  :excl:  :excl:

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :namtay  :namtay  :namtay


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 24-07-2017 - 11:39

Cho các số thực $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}\geq 0$

Thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}\geq 0 \\ a_{1}+a_{2}\leq 2002\\a_{3}+a_{4}+...+a_{100}\leq 2002  \end{array} \right.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $S=a{_{1}}^{2}+a{_{2}}^{2}+...+a{_{100}}^{2}$.Tìm các số $a_{1},a_{2},...a_{100}$ tương ứng

Từ các điều kiện đề bài ta có $0\leqslant a_2\leqslant 1001$. Xét $2$ trường hợp :

1) $a_2=0$ :

    Khi đó $a_3=a_4=...=a_{100}=0$ và dễ thấy $S$ đạt GTLN là $2002^2=4008004$ với $a_1=2002$

2) $0< a_2\leqslant 1001$ :

    Với mỗi giá trị $m$ cố định của $a_2$ ($m\in \mathbb{R},0< m\leqslant 1001$) ta có :

    $S=a_1^2+a_2^2+...+a_{100}^2\leqslant (2002-m)^2+m^2+m(a_3+a_4+...+a_{100})\leqslant (2002-m)^2+m^2+2002m$.

    Đặt $f(x)=(2002-x)^2+x^2+2002x$ thì :

    Với mỗi giá trị $m$ cố định của $a_2$ ($m\in \mathbb{R},0< m\leqslant 1001$) ta có : $S\leqslant f(m)$.

    Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a_1=2002-m\\a_3=a_4=...=a_k=m\\a_{k+1}=a_{k+2}=...=a_{100}=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a_1=2002-m\\\frac{2002}{m}=k-2\\k\in\mathbb{N},4\leqslant k\leqslant 100 \end{matrix}\right.$

    Bây giờ ta tìm GTLN của $f(x)$ trên $(0;1001]$.

    $f'(x)=4x-2002$

    $f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1001}{2}$

    $f\left ( \frac{1001}{2} \right )=3507003,5$ (1)

    $f(1001)=4008004$ (2)

    So sánh (1),(2) $\Rightarrow$ GTLN của $f(x)$ trên $(0;1001]$ là $4008004$ (đạt được khi $x=m_0=1001$)

    Vì $\frac{2002}{m_0}=2=k-2\Rightarrow k=4$ (thỏa mãn điều kiện dấu bằng xảy ra) nên suy ra :

    GTLN của $S$ (trong trường hợp 2) là $4008004$

 

So sánh cả $2$ trường hợp, ta có GTLN của $S$ là $4008004$ xảy ra khi :

$\left\{\begin{matrix}a_1=2002\\a_2=a_3=...=a_{100}=0 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a_1=a_2=a_3=a_4=1001\\a_5=a_6=...=a_{100}=0 \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 24-07-2017 - 12:50

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 Gaming Fenria

Gaming Fenria

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:best volleyball

Đã gửi 24-07-2017 - 20:59

Từ các điều kiện đề bài ta có 0a210010⩽a2⩽1001. Xét 22 trường hợp :

1) a2=0a2=0 :

    Khi đó a3=a4=...=a100=0a3=a4=...=a100=0 và dễ thấy SS đạt GTLN là 20022=400800420022=4008004 với a1=2002a1=2002

2) 0<a210010<a2⩽1001 :

    Với mỗi giá trị mm cố định của a2a2 (mR,0<m1001m∈R,0<m⩽1001) ta có :

    S=a21+a22+...+a2100(2002m)2+m2+m(a3+a4+...+a100)(2002m)2+m2+2002mS=a12+a22+...+a1002⩽(2002−m)2+m2+m(a3+a4+...+a100)⩽(2002−m)2+m2+2002m.

    Đặt f(x)=(2002x)2+x2+2002xf(x)=(2002−x)2+x2+2002x thì :

    Với mỗi giá trị mm cố định của a2a2 (mR,0<m1001m∈R,0<m⩽1001) ta có : Sf(m)S⩽f(m).

    Dấu bằng xảy ra a1=2002ma3=a4=...=ak=mak+1=ak+2=...=a100=0a1=2002m2002m=k2kN,4k100⇔{a1=2002−ma3=a4=...=ak=mak+1=ak+2=...=a100=0⇔{a1=2002−m2002m=k−2k∈N,4⩽k⩽100

    Bây giờ ta tìm GTLN của f(x)f(x) trên (0;1001](0;1001].

    f(x)=4x2002f′(x)=4x−2002

    f(x)=0x=10012f′(x)=0⇔x=10012

    f(10012)=3507003,5f(10012)=3507003,5 (1)

    f(1001)=4008004f(1001)=4008004 (2)

    So sánh (1),(2)  GTLN của f(x)f(x) trên (0;1001](0;1001] là 40080044008004 (đạt được khi x=m0=1001x=m0=1001)

    Vì 2002m0=2=k2k=42002m0=2=k−2⇒k=4 (thỏa mãn điều kiện dấu bằng xảy ra) nên suy ra :

    GTLN của SS (trong trường hợp 2) là 40080044008004

 

So sánh cả 22 trường hợp, ta có GTLN của SS là 40080044008004 xảy ra khi :

{a1=2002a2=a3=...=a100=0{a1=2002a2=a3=...=a100=0 hoặc {a1=a2=a3=a4=1001a5=a6=...=a100=0


GamingFenria


#4 NeverDiex

NeverDiex

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Đã gửi 26-07-2019 - 10:13

Từ các điều kiện đề bài ta có 0a210010⩽a2⩽1001. Xét 22 trường hợp :

1) a2=0a2=0 :

    Khi đó a3=a4=...=a100=0a3=a4=...=a100=0 và dễ thấy SS đạt GTLN là 20022=400800420022=4008004 với a1=2002a1=2002

2) 0<a210010<a2⩽1001 :

    Với mỗi giá trị mm cố định của a2a2 (mR,0<m1001m∈R,0<m⩽1001) ta có :

    S=a21+a22+...+a2100(2002m)2+m2+m(a3+a4+...+a100)(2002m)2+m2+2002mS=a12+a22+...+a1002⩽(2002−m)2+m2+m(a3+a4+...+a100)⩽(2002−m)2+m2+2002m.

    Đặt f(x)=(2002x)2+x2+2002xf(x)=(2002−x)2+x2+2002x thì :

    Với mỗi giá trị mm cố định của a2a2 (mR,0<m1001m∈R,0<m⩽1001) ta có : Sf(m)S⩽f(m).

    Dấu bằng xảy ra a1=2002ma3=a4=...=ak=mak+1=ak+2=...=a100=0a1=2002m2002m=k2kN,4k100⇔{a1=2002−ma3=a4=...=ak=mak+1=ak+2=...=a100=0⇔{a1=2002−m2002m=k−2k∈N,4⩽k⩽100

    Bây giờ ta tìm GTLN của f(x)f(x) trên (0;1001](0;1001].

    f(x)=4x2002f′(x)=4x−2002

    f(x)=0x=10012f′(x)=0⇔x=10012

    f(10012)=3507003,5f(10012)=3507003,5 (1)

    f(1001)=4008004f(1001)=4008004 (2)

    So sánh (1),(2)  GTLN của f(x)f(x) trên (0;1001](0;1001] là 40080044008004 (đạt được khi x=m0=1001x=m0=1001)

    Vì 2002m0=2=k2k=42002m0=2=k−2⇒k=4 (thỏa mãn điều kiện dấu bằng xảy ra) nên suy ra :

    GTLN của SS (trong trường hợp 2) là 40080044008004

 

So sánh cả 22 trường hợp, ta có GTLN của SS là 40080044008004 xảy ra khi :

{a1=2002a2=a3=...=a100=0{a1=2002a2=a3=...=a100=0 hoặc {a1=a2=a3=a4=1001a5=a6=...=a100=0{a1=a2=a3=a4=1001a5=a6=...=a100=0

 

 


 

 




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh