Chủ đề này có 3 trả lời

[Trang Luong]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương . Chứng minh rằng :

 

$\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^2\geq \frac{3}{2}\left ( \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \right )$

[phamquanglam]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương . Chứng minh rằng :

 

$\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^2\geq \frac{3}{2}\left ( \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \right )$

Từ điều phải chứng minh ta có: 

$\sum (\frac{a}{b})^{2}+2\sum \frac{a}{c}\geq \frac{3}{2}(\sum \frac{a}{c}+\sum \frac{a}{b})\Leftrightarrow \sum (\frac{a}{b})^{2}+\frac{1}{2}\sum \frac{a}{c}\geq \frac{3}{2}\sum \frac{a}{b}\Rightarrow 2\sum (\frac{a}{b})^{2}+\sum \frac{a}{c}\geq 3\sum \frac{a}{b}$

Mặt khác áp dụng AM-GM:

$2\sum(\frac{a}{b}) ^{2}+6\geq 4\sum \frac{a}{b}$

$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq 3$

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$

Cộng hết vào:

$\Rightarrow 2\sum (\frac{a}{b})^{2}+\sum \frac{a}{c}\geq 3\sum \frac{a}{b}$

Vậy BĐT đã được chứng minh!     

Đây là 1 biến thể của BĐT sau:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương.

CMR: $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 29-07-2014 - 15:37

[Trang Luong]

 

Cách 2 : Đặt $\left ( \frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a} \right )=\left ( x,y,z \right )$$\Rightarrow xyz=1$

Ta được BĐT mới là $2\left ( x+y+z\right )^2\geq 3\left ( xy+yz+xz \right )+3\left ( x+y+z \right )$

Ta có : $xyz=1\Rightarrow x+y+z\geq 3\Rightarrow \left ( x+y+z \right )^2\geq 3\left ( x+y+z \right )$

$\left ( x+y+z \right )^2\geq 3\left ( xy+yz+xz \right )$ với mọi số thực dương $x,y,z$ 

$$\Rightarrow 2\left ( x+y+z\right )^2\geq 3\left ( xy+yz+xz \right )+3\left ( x+y+z \right )$$ đpcm

[ducbau007]

bài này trên tạp chí toán tuổi thơ 2 có rùi