Chủ đề này có 1 trả lời

[Trang Luong]

Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y$ thảo mãn $$x^{x+y}=y^{3x}$$

[HoangHungChelski]

Lời giải:
Ta có: $x^{x+y}=y^{3x}\Leftrightarrow x^{\frac{x+y}{3x}}=y \qquad (1)$
$(*)$ Xét $x=1\Rightarrow y=1$
$(*)$ Xét $x=2\Rightarrow y^6=4.2^y$ (Trường hợp này không xảy ra, CM bằng quy nạp)
$(*)$ Xét $x\geq 3\Rightarrow \frac{x+y}{3x}\in \mathbb{Z^+}\Rightarrow x+y\vdots 3x$. Đặt $x+y=3tx(t\in \mathbb{Z^+})\Leftrightarrow y=x(3t-1)$
Ta có: $(1)\Leftrightarrow x(3t-1)=x^{\frac{x+x(3t-1)}{3x}}\Leftrightarrow x(3t-1)=x^t\Leftrightarrow 3t-1=x^{t-1}$
• Nếu $t=1\Rightarrow 2=1$ (vô lí)
• Nếu $t=2\Rightarrow x=5\Rightarrow y=5.(3.2-1)=25$
• Nếu $t\geq 3$. Ta phải CM: $3^{t-1}>3t-1$
Với $t=3$, ta có điều trên đúng.
Với $t>3$. Ta phải CM: $3^{t}>3(t+1)-1=3t+2$
Thật vậy: $3^t=3.3^{t-1}>3(3t-1)>3t+2$ mà $x\geq 3\Rightarrow x^{t-1}>3t-1$
Vậy phương trình có nghiệm là $(x,y)\in \{(1;1);(5;25)\}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangHungChelski: 29-07-2014 - 15:45