Chủ đề này có 2 trả lời

[Trang Luong]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$

Chứng minh : $$\frac{1}{xy(4-x^2y^2)}+\frac{1}{yz(4-y^2z^2)}+\frac{1}{zx(4-z^2x^2)}\geq 1.$$

[tap lam toan]

Từ điều kiện dễ thấy $xyz \leq {1}$. Sử dụng $AM-GM$ ta có 
$$3x^{2}y^{2}\left ( 4-x^{2}y^{2} \right )^{3}\leq \left ( \frac{3x^{2}y^{2}+3(4-x^{2}y^{2})}{4} \right )^{4}=3^{4}$$
$$\Rightarrow \left ( xy \right )^{\frac{2}{3}}\left ( 4-x^{2}y^{2} \right )\leq 3\Leftrightarrow \frac{1}{xy\left ( 4-x^{2}y^{2}\right )}\geq \frac{1}{3(xy)^{\dfrac{1}{3}}}$$
Do đó $$VT\geq \frac{1}{3}\left ( \frac{1}{\left ( xy \right )^{\dfrac{1}{3}}}+\frac{1}{\left ( yz \right )^{\dfrac{1}{3}}}+\frac{1}{\left ( zx \right )^{\dfrac{1}{3}}} \right )\geq 1$$
Bài toán vẫn đúng khi $x^{n}+y^{n}+z^{n}=3$ với $n>0$

[tim1nuathatlac]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$

Chứng minh : $$\frac{1}{xy(4-x^2y^2)}+\frac{1}{yz(4-y^2z^2)}+\frac{1}{zx(4-z^2x^2)}\geq 1.$$

 

Buổi chiều dk nghỉ..chỉ có ngủ là thik.

 

$VT=\sum \frac{1}{xy\left ( 2-xy \right )\left ( 2+xy \right )}\geq \sum \frac{1}{\frac{\left ( xy+2-xy \right )^{2}}{4}\left ( 2+xy \right )}=\sum \frac{1}{2+xy}\geq \frac{9}{6+\sum xy}$

 

Dễ thấy:

$xy+yz+zx\leq 3\Rightarrow VT\geq 1.\square$