Mình lập topic này để thêm cách làm vào các bài toán giải phương trình! 
Mong các bạn ủng hộ!
Mình xin giới thiệu phương pháp giải phương trình bằng phương pháp lượng giác hóa!
_1 lớp các phương trình vô tỷ có thể giải được bằng phương pháp chuyển về phương trình lượng giác hoặc ngược lại!
_Lợi thế của phương pháp này là đưa phương trình ban đầu về 1 phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải, có thể giải được phương trình bậc cao hơn bậc 2....
_Nhược điểm là phương pháp này khi chuyển về lượng giác thì rất khó để tìm được nghiệm tường minh cho phương trình...
_Vì hàm lượng giác là hàm tuần hoàn nên khi đặt giá trị cho biến thì ta nên để biến $Sin t$ hoặc $Cos t$ không âm..
_Sau đây là 1 số dạng mà mình thường gặp và cách đặt:
1/
Nếu ta thấy $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ thì ta đổi biến $x=\left | a \right |sin t$ với $t\in \left [ \frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$
hoặc $x=\left | a \right |cos t$ với $t\in \left [ 0;\pi \right ]$
2/
Nếu ta thấy $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ thì ta đổi biến $x=\frac{\left | a \right |}{sin t}$ với $t\in \left [ \frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$
hoặc $x=\frac{\left | a \right |}{cost}$ với $t\in \left [ 0;\pi \right ]$
3/
Nếu ta thấy $\sqrt{x^{2}+a^{2}}$ thì ta đổi biến $x=\left | a \right |tan t$ với $t\in \left [ \frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$
hoặc $x=\left | a \right |cos t$ với $t\in \left [ 0;\pi \right ]$
4/
Nếu ta thấy $\sqrt{\frac{a+x}{a-x}} \vee \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}$ thì ta đổi biến $x=a.cos 2t$ với $cos2t\in \left [ -1;1 \right ]$
5/
Nếu ta thấy $\sqrt{(x-a)(b-x)}$ thì ta đổi biến $x=a+(b-a)sin^{2}t$
Và 1 số trường hợp như công thức cộng, nhân đôi, nhân ba.......
Bây giờ ta vào bài tập.
Bài 1:
Giải phương trình:$\sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}}=x(1+2\sqrt{1-x^{2}})$
Điều kiên cho $x$
Đặt $x=sin t$ với $t\in \left [ \frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$
$\Rightarrow \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-sin^{2}t}=\left | cos t \right |=cos t$
Do đó: $\sqrt{1+cos t}=sin t(1+2cost)\Leftrightarrow \sqrt{2cos^{2}\frac{t}{2}}=sint+sin2t\Leftrightarrow \sqrt{2}cos\frac{t}{2}=2sin\frac{3t}{2}sin\frac{t}{2}\Leftrightarrow \sqrt{2}cos\frac{t}{2}(1-\sqrt{2}sin\frac{3t}{2})=0$
Từ đây có: $cos\frac{t}{2}=0\Rightarrow t=\pi +k\pi$ do $t\in \left [ \frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$ $\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}\Rightarrow x=\frac{1}{2}$
Hoặc $Sin \frac{3t}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}+k\frac{4\pi }{3}\vee t=\frac{\pi }{2}+\frac{k4\pi }{3}$ do $t\in \left [ \frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$ $\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}\Rightarrow x=1$
Phương trình đã được giải quyết!
Bài 2: Giải phương trình: $4x^{3}-3x=\sqrt{1-x^{2}}$
Bài 3: Giải phương trình: $x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}=2\sqrt{2}$
Bài 4: Giải phương trình: $\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x}=\sqrt{\frac{1-2x}{1+2x}}+\sqrt{\frac{1+2x}{1-2x}}$
Bài 5: Giải phương trình:$\sqrt{x^{2}+1}+\frac{x^{2}+1}{2x}=\frac{(x^{2}+1)^{2}}{2x(1-x^{2})}$
Bài 6: Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}+1}=\frac{(x^{2}+1)^{3}}{6x^{5}-20x^{3}+6x}$
Bài 7: Giải phương trình: $x^{3}-3x=\sqrt{x+2}$
Bài 8: Giải phương trình: $x^{3}+\sqrt{(1-x^{2})^{3}}=x\sqrt{2-2x^{2}}$
Mệt qua!!!!!!!!! Mai post phần giải phương trình bậc cao.......
