60 replies to this topic

[Mikhail Leptchinski]

Thêm bài tập nhé

21*,Cho $x,y$ thỏa mãn $0\leq y\leq x\leq 1$.Tìm giá trị lớn nhất biểu thức $A=\frac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{xy}}$

22*Cho $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$.Tìm giá trị lớn nhất biểu thức $P=a^2(b-c)+b^2(c-b)+c^2(1-c)$

23,Cho $x,y$$x,y$ thỏa mãn $x^2+3xy+4y^2\leq \frac{7}{2}$.Tìm giá trị lớn nhất $x+y$

 

 

 

Toàn những bài khó, làm giáo viên cấp 2 mấy năm rồi nhưng chưa chắc đã thành thạo được mấy bài này

Thầy nói quá rồi thầy ạ.Thầy là giáo viên dậy học sinh kiến thức nên cũng có lúc không làm được là điều bình thường ạ!

[hoctrocuaZel]

23,Cho $x,y$$x,y$ thỏa mãn $x^2+3xy+4y^2\leq \frac{7}{2}$.Tìm giá trị lớn nhất $x+y$

Đặt: $x+y=t\rightarrow x=t-y$

Thay vào giả thiết, được: $t^2+2y^2+ty\leq \frac{7}{2}\Leftrightarrow \frac{7t^2}{8}\leq \frac{7}{2}-2(y+\frac{t}{4})^2\rightarrow t^2\leq 4\rightarrow t\leq 2$

Dấu bằng: $x=\frac{5}{2};y=\frac{-1}{2}$

p/s: 1) Hai bài còn lại ai giải giùm

2) Lần sau bạn đừng ghi bài sao như thế, làm mình mất tập trung 

[Mikhail Leptchinski]

Lâu topic không hoạt động hôm nay mình xin post một số bài nhé.Mong các bạn học rồi thì cũng ôn lại

24,Cho $a,b>0;a+b\leq 1$.Tìm min:

a,$P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}$

b,$A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}$

25,Cho $x,y,z> 0$ phân biệt thỏa mãn:$(x+z)(z+y)=1$.Tìm min:$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}$

26,Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn :$ab+bc+ac>0$.Tìm min của:$\frac{a^2+16bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+16ac}{c^2+a^2}+\frac{c^2+16ab}{a^2+b^2}$

 

P/S:Còn bài 21,22 mình gửi trên chưa bạn nào giải nhé các bạn giải quyết nốt

[chieckhantiennu]

Lâu topic không hoạt động hôm nay mình xin post một số bài nhé.Mong các bạn học rồi thì cũng ôn lại

24,Cho $a,b>0;a+b\leq 1$.Tìm min:

a,$P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}$

b,$A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}$

 

2 câu này dễ rồi.  BCS dạng engel là ra rồi.

[brianorosco]

Lâu topic không hoạt động hôm nay mình xin post một số bài nhé.Mong các bạn học rồi thì cũng ôn lại

24,Cho $a,b>0;a+b\leq 1$.Tìm min:

a,$P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}$

b,$A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}$

 

 

a)$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\geq \frac{4}{\left ( a+b \right )^2}\geq 4$

b)$4ab\leq \left ( a+b \right )^2\leq 1$ (1)

$A=\frac{1}{1+\left ( a+b \right )^2-2ab}+\frac{1}{2ab}\geq\frac{1}{2-2ab}+\frac{1}{2ab}=\frac{1}{2}.(\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{ab})$

Ta sẽ chứng minh:

$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{ab}\geq \frac{16}{3}\Leftrightarrow (4ab-1)(4ab-3)\leq 0$ ( đúng theo (1))

[CandyPanda]

21. Ta có:

$\frac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{xy}}$

$=\frac{\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{1+(1-\sqrt{x})(1-\sqrt{y})}\leq \sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})$

$\leq \sqrt{y}(1-\sqrt{y})\leq \frac{1}{4}$

Dấu đẳng thức khi x=1,y=0.25

 

22. Ta có:

$P=a^{2}(b-c)+b^{2}(c-b)+c^{2}(1-c)\leq b^{2}(1-b)\leq \frac{4}{27}$

Dấu đẳng thức khi a=0,b=0.5,c=1

 

[CandyPanda]

Bài 26 hình như không có GTNN. Nói đúng hơn GTNN của bài 26 là 10, đạt được khi 2 số bằng nhau và 1 số bằng 0, chứng minh bằng cách biến đổi tương đương (nhưng đề bài cho 3 số >0). Có thể lấy a=b=1 rồi c rất bé để nhận ra nếu c càng giảm thì VT càng giảm nhưng không bao giờ chạm tới 10

[chieckhantiennu]

 

25,Cho $x,y,z> 0$ phân biệt thỏa mãn:$(x+z)(z+y)=1$.Tìm min:$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}$

 

Quy đồng sai rồi. 
 

Edited by chieckhantiennu, 06-10-2014 - 22:01.

[CandyPanda]

$\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(z+x)^{2}}+\frac{1}{(z+y)^{2}} =\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{(x+z)^2+(y+z)^2}{(x+z)^2(y+z)^2} =\frac{1}{(x-y)^2}+x^2+y^2+2z^2+2z(x+y) =\frac{1}{(x-y)^2}+(x-y)^2+2z^2+2xz+2yz+2xy =\frac{1}{(x-y)^2}+(x-y)^2+2(x+z)(z+y)=\frac{1}{(x-y)^2}+(x-y)^2+2 \geq4$
 

Quy đồng có bị nhầm chăng ?

[longhai2000]

Chào các bạn,trong thời gian vừa qua mình thấy trên diễn đàn toán khá nhiều bạn hỏi những bài toán về kỹ thuật chọn điểm rơi.Vì vậy hôm nay mình mở ra topic này để mọi người tìm hiểu và học thêm nhiều kiến thức.Kỹ thuật chọn điểm rơi hay còn gọi là cân bằng hệ số thường được dùng rất hay trong các kỳ thi học sinh giỏi,kỳ thi tuyển sinh vào cấp 3

Sau đây,các bạn hãy đến với những ví dụ đầu tiên

Ví dụ 1:

Cho $x\geq 1$.Tìm min của biểu thức:$P=3x+\frac{1}{2x}$

 

Chắc chắn gặp bài toán này nhiều bạn sẽ giải như sau:

Áp dụng bất đẳng thức cô si có:$P\geq 2\sqrt{3x.\frac{1}{2x}}=2.\sqrt{\frac{3}{2}}$

Dấu bằng xảy ra:$3x=\frac{1}{2x}$ từ đó giải được $x=\frac{1}{\sqrt{6}}$ nhưng lại không thỏa mãn điều kiện $x\geq 1$

 

Vì thế chúng ta không thể kết luận được min của biểu thức

 

Ví dụ 2:

Cho $a,b,c>0$.Tìm giá trị nhỏ nhất của 

$p=\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

 

Lời giải 

 

Ở bài 3 ta có thể chứng minh bất đẳng thức $a\left ( 11-a \right )\geq (a-m)(11+m-a)$ (với $0\leq m\leq a$) rồi áp dụng suy ra Max P

Mỗi bài có một cách giải riêng nên các bạn có thể tham khảo ở nhiều nguồn he !

[gianglqd]

Góp cho topic:

 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI..pdf   445.03KB   500 downloads

[KimAnh126]

 

Dưới đây là bài tập vận dụng.Mình sẽ post từ dễ đến khó những bài khó mình sẽ tô màu đỏ.Mong các bạn làm hết rồi sẽ post bài khác kẻo tràn bài toán trên topic

 

1,Cho $a\geq 2$.Tìm min $A=2a+\frac{1}{a}$

2,Cho $a,b,c>0$,$a+b+c=2$.Tìm min:$P=\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$

3,Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn:$0\leq a\leq 3$ và $a+b=11$.Tìm max $P=ab$

4.Cho ${\color{Red}a,b,c>0 }$ và ${\color{Red} a+b+c=1}$.Tìm max ${\color{Red} P=a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}$

5,Cho ${\color{Red} x,y\geq 0}$ thỏa mãn:${\color{Red} x^2+y^2=5}$.Tìm min:${\color{Red} P=x^3+y^6}$

6,Cho ${\color{Red} x,y,z\geq 0}$ và ${\color{Red} x+y+z=3}$.Tìm min ${\color{Red} P=x^4+2y^4+3z^4}$

bài 2 :áp dụng bđt bunhia:

$\frac{\sqrt{178}}{6}P= \sum \sqrt{(a^{2}+\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}})(\frac{4}{9}+\frac{9}{4}+\frac{9}{4})} \geq \sum (\frac{2a}{3} + \frac{3}{2b}+\frac{3}{2b})= \frac{2}{3}(a+b+c)+3( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{4}{3}+9 \sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\geq \frac{4}{3}+9\sqrt[3]{\frac{1}{\frac{(a+b+c)^{3}}{27}}} = \frac{89}{6} \Rightarrow P\geq \frac{\sqrt{178}}{2}$

Edited by KimAnh126, 27-02-2016 - 10:39.

[michealdzung]

Bài 1:Ta dự đoán rằng điểm rơi của bài toán khi x=2, khi đó $\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$ , ta sẽ ghép như sau :

$A=\frac{1}{a}+\frac{a}{4}+\frac{7a}{4}\geq 2+\frac{7.2}{4}=5.5$. Dấu đẳng thức xay ra khi $x=2$

Bài 3:Ta dự đoán điểm rơi của bài toán khi $a=3$ và $b=11$. Ta sẽ dùng AM-GM như sau:

$P=\frac{1}{24}.8a.3b\leq \frac{1}{24}.\frac{(8a+3b)^{2}}{4}=\frac{\left [ 3(a+b)+5b \right ]^{2}}{96}=\frac{(33+5a)^{2}}{96}\leq \frac{(33+5.3)^{2}}{96}=24$

Vậy $MaxP =24$ khi $a=3$ và $b=11$

Bài 5: Ta dự đoán điểm rơi của bài toán khi $a=2$ và $b=1$, Theo AM-GM thì

$x^{3}+4=\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{3}}{2}+4\geq 3x^{2}$

$y^{6}+2=y^{6}+1+1\geq 3y^{2}$

Từ đó có $P\geq 9$

Đẳng thức xảy ra khi $x=2$ và $y=1$

Câu 3 hình như có gì đó không hợp lý, $a=3, b=11$ thì $a+b=11$ sao mà được hả bạn. Mình nghĩ có lẽ đề cho $a+b=14$ thì phải.

[actgm]

$14)$
$P\geq 2ab+\frac{2}{ab}=2ab+\frac{1}{8ab}+\frac{15}{8ab}\geq \frac{1}{2}+\frac{15}{8\frac{(a+b)^2}{4}}=\frac{1}{2}+\frac{15}{2}=8$
Dấu $"="$ có khi: $a=b=\frac{1}{2}$
$15)$
http://truongviethoa...-ab-va-ab1.html
$16)$

Đặt $t=\dfrac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}$
Ta sẽ chứng minh $t\geq 3$
Thật vậy: $$t\geq 3\Leftrightarrow 2(x+y+1)^2\geq 6(x+y+xy)$$
$$\Leftrightarrow (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2\geq 0$$
Điều này luôn đúng.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$
Ta có: $A=\dfrac{8t}{9}+\left(\dfrac{t}{9}+\dfrac{1}{t}\right)\geq \dfrac{24}{9}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3}$
Dấu $"="$ xảy ra khi: $t=3\Leftrightarrow x=y=1$
(http://truongviethoa...acxyxyxy12.html)

Hình như làm gì có ab=1 ?

[toila]

Bài 1:Ta dự đoán rằng điểm rơi của bài toán khi x=2, khi đó $\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$ , ta sẽ ghép như sau :

$A=\frac{1}{a}+\frac{a}{4}+\frac{7a}{4}\geq 2+\frac{7.2}{4}=5.5$. Dấu đẳng thức xay ra khi $x=2$

Bài 3:Ta dự đoán điểm rơi của bài toán khi $a=3$ và $b=11$. Ta sẽ dùng AM-GM như sau:

$P=\frac{1}{24}.8a.3b\leq \frac{1}{24}.\frac{(8a+3b)^{2}}{4}=\frac{\left [ 3(a+b)+5b \right ]^{2}}{96}=\frac{(33+5a)^{2}}{96}\leq \frac{(33+5.3)^{2}}{96}=24$

Vậy $MaxP =24$ khi $a=3$ và $b=11$

Bài 5: Ta dự đoán điểm rơi của bài toán khi $a=2$ và $b=1$, Theo AM-GM thì

$x^{3}+4=\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{3}}{2}+4\geq 3x^{2}$

$y^{6}+2=y^{6}+1+1\geq 3y^{2}$

Từ đó có $P\geq 9$

Đẳng thức xảy ra khi $x=2$ và $y=1$

mình không hiểu đoạn ta dự đoán điểm rơi và suy ra 2 phân số bằng nhau

[Dhantae123456]

PP miền giá trị

$P=\frac{2x^2-3x+3}{x+1}\Leftrightarrow f(x)=2x^2-(P+3)x+3-P=0$ (1)

$\Delta_{(1)}=(P+3)^2-4.2.(3-P)=P^2+14P-15=(P-1)(P+15)\ ;\\ f(0)=3-P\ ;\ f(2)=5-3P$

Viét : $\frac{S}{2}=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{P+3}{4}$
(gt) : (1) có nghiệm $x\in[0;2]\Leftrightarrow 0\le x_1\le x_2\le2$  $\vee$  $0\le x_1\le2\le x_2$  $\vee$  $x_1\le0\le x_2\le2$

$\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta_{(1)}\ge0\\f(0)\ge0\\f(2)\ge0\\0\le\frac{S}{2}\le2 \end{cases}$  $\vee$  $\begin{cases}f(0)\ge0\\f(2)\le0 \end{cases}$  $\vee$  $\begin{cases}f(0)\le0\\f(2)\ge0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}P\le-15\ \vee\ P\ge1\\P\le3\\P\le\frac{5}{3}\\1\le P\le5\end{cases}$ $\vee$ $\begin{cases}P\le3\\P\ge\frac{5}{3}\end{cases}$ $\vee$ $\begin{cases}P\ge3\\P\le\frac{5}{3}\end{cases}$

$\Leftrightarrow 1\le P\le\frac{5}{3}$   $\vee$   $\frac{5}{3}\le P\le 3$   $\vee$   $P\in\varnothing$

Từ đây ta thấy : $\min P=1$ tại $\Delta_{(1)}=0\Leftrightarrow x=\frac{S}{2}=\frac{P+3}{4}=1$;

$\max P=3$ tại $f(0)=0\Leftrightarrow x=0$.

[viethau02]

cho x,y,z thực thõa mãn xy+yz+zx=1
tìm gtnn của A= 13x² +12y² +22z²

Edited by viethau02, 16-01-2017 - 23:40.

[Mr Q]

Q$\geq \frac{2bc}{a^2}+\frac{2a^2}{bc}=\frac{2bc}{a^2}+\frac{a^2}{2bc}+\frac{3.a^2}{bc}\geq 2+3=5$

Dấu bằng: $b=c=\frac{a}{\sqrt{2}}$

 

Kết quả phải là >= 2+6=8

[emkhongnumberone]

nhiều bài bất đẳng thức đối xứng mà cực trị không đạt tại các biến bằng nhau thì phải làm sao ạ???

[danghieu192]

giúp em bài này với ạ:

cho x, y dương t/m x+y\geq 3. chứng minh x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\geq \frac{9}{2}