Chủ đề này có 2 trả lời

[Yagami Raito]

Cho các số thực dương $a,b,c,p,q$ thỏa mãn $abc=1$ và $p \geq q$.Chứng minh rằng: 

$$p\left(a^2+b^2+c^2\right)+q\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq (p+q) (a+b+c).$$

  USA ELMO Shortlist 2014 

[Hoang Tung 126]

Cho các số thực dương $a,b,c,p,q$ thỏa mãn $abc=1$ và $p \geq q$.Chứng minh rằng: 

$$p\left(a^2+b^2+c^2\right)+q\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq (p+q) (a+b+c).$$

  USA ELMO Shortlist 2014 

BDT $< = > p(a^2+b^2+c^2)+q(ab+bc+ac)\geq (p+q)(a+b+c)< = > p(a^2+b^2+c^2-a-b-c)\geq q(a+b+c-ab-bc-ac)$

Ta có $a^2+b^2+c^2-a-b-c\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}-a-b-c=(a+b+c)(\frac{a+b+c}{3}-1)\geq (a+b+c)(\frac{3\sqrt[3]{abc}}{3}-1)=0= > p(a^2+b^2+c^2-a-b-c)\geq 0$

-Nếu $a+b+c-ab-bc-ac< 0= > q(a+b+c-ab-bc-ac)< 0$ thì bài toán đúng

-Nếu $a+b+c-ab-bc-ac\geq 0= > q(a+b+c-ab-bc-ac)\leq p(a+b+c-ab-bc-ac)$

Do đó cần CM $p(a^2+b^2+c^2-a-b-c)\geq p(a+b+c-ab-bc-ac)< = > p(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac-2(a+b+c))\geq 0$

$< = > a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac-2(a+b+c)\geq 0$ (Do $p> 0$)

BDT này đúng do $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac-2(a+b+c)\geq \frac{2(a+b+c)^2}{3}-2(a+b+c)=2(a+b+c)(\frac{a+b+c}{3}-1)\geq 2(a+b+c)(\frac{3\sqrt[3]{abc}}{3}-1)=0$

Dấu =xảy ra khi $a=b=c=1$

[Trang Luong]

Cho các số thực dương $a,b,c,p,q$ thỏa mãn $abc=1$ và $p \geq q$.Chứng minh rằng: 

$$p\left(a^2+b^2+c^2\right)+q\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq (p+q) (a+b+c).$$

  USA ELMO Shortlist 2014 

Tham khảo trên mathlinks.ro