Chủ đề này có 3 trả lời

[linhdan611]

1. cho $0^{\circ}< \alpha < 90^{\circ}$

a, tìm GTLN: $P= sin\alpha +cos\alpha$

b, tìm GTLN, GTNN: $Q=sin^{4}\alpha +cos^{4}\alpha$

2. cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1

chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq \sqrt{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$

3. cho a,b,c,d>0 thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=4$

chứng minh:$a^{3}bc+b^{3}cd+c^{3}da+d^{3}ab\leq 4$

 

[Yagami Raito]

1.

a) $(sin\alpha)^2+(cos\alpha)^2\ge \dfrac{(sin\alpha+cos\alpha)^2}{2}$ mà $(sin\alpha)^2+(cos\alpha)^2=1$

2.

Áp dụng BDDT Cauchy schwarz ta có 

$$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^3+b^3+c^3) \ge (a^2+b^2+c^2)^2$$

Ta có đpcm

[Rias Gremory]

1. cho $0^{\circ}< \alpha < 90^{\circ}$

b, tìm GTLN, GTNN: $Q=sin^{4}\alpha +cos^{4}\alpha$

$f(x)=sin^{4}x +cos^{4}x =(sin^{2}x +cos^{2}x )^{2}-2sin^{2}x .cos^{2}x =1-2sin^{2}x .cos^{2}x$

Ta có : $sin^{2}x .cos^{2}x \geq 0$

$\Rightarrow f(x )_{max}=1$

Đặt $sin^{2}x =a, cos^{2}x=b \Rightarrow a,b\geq 0$ và $a+b=1$
khi đó : $sin^{4}x +cos^{4}x=a^{2}+b^{2}$
Mà
$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab = 1-2ab\geq 1-\frac{(a+b)^{2}}{2}= \frac{1}{2}$
vậy $min= \frac{1}{2}$

[quangnghia]

1. cho $0^{\circ}< \alpha < 90^{\circ}$

a, tìm GTLN: $P= sin\alpha +cos\alpha$

b, tìm GTLN, GTNN: $Q=sin^{4}\alpha +cos^{4}\alpha$

2. cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1

chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq \sqrt{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$

3. cho a,b,c,d>0 thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=4$

chứng minh:$a^{3}bc+b^{3}cd+c^{3}da+d^{3}ab\leq 4$

3) áp dụng bđt  Cauchy schwarz

$(a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

Lấy căn 2 vế và để ý a+b+c=1 ta được điều phải chứng minh