Chủ đề này có 2 trả lời

[chardhdmovies]

Cho các số thực không âm $a_{i}(i=\overline{1,n}), n\in N^{*}$, chứng minh rằng: $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{m}\geq \left ( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i} \right )^m$ theo pp quy nạp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 01-08-2014 - 05:41

[duaconcuachua98]

Cho các số thực không âm $a_{i}(i=\overline{1,n}), n\in N^{*})$, chứng minh rằng: $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{m}\geq \left ( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i} \right )^m$

Phải thêm $m\in N^{*}$ chứ !!!

Xét $2$ trường hợp 

$\bigstar$ Nếu $m$ chẵn ta có: 

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{m}\geq \frac{1}{n^{2}}\left ( \sum_{i=1}^{n}\sqrt{a_{i}^{m}} \right )^{2}\geq \frac{1}{n^{m}}\left ( \sum_{i=1}^{n}a_{i} \right )^{m}=\left ( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i} \right )^{m}$

$\bigstar$ Nếu $m$ lẻ ta có:

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{m}=\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}^{m+1}}{n.a_{i}}\geq \frac{1}{n.\sum_{i=1}^{n}a_{i}}\left ( \sum_{i=1}^{n}\sqrt{a_{i}^{m+1}} \right )^{2}\geq \frac{1}{n^{m}\sum_{i=1}^{n}a_{i}}\left ( \sum_{i=1}^{n}a_{i} \right )^{m+1}=\frac{1}{n^{m}}\left ( \sum_{i=1}^{n}a_{i} \right )^{m}=\left ( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i} \right )^{m}$

[chardhdmovies]

Phải thêm $m\in N^{*}$ chứ !!!

Xét $2$ trường hợp 

$\bigstar$ Nếu $m$ chẵn ta có: 

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{m}\geq \frac{1}{n^{2}}\left ( \sum_{i=1}^{n}\sqrt{a_{i}^{m}} \right )^{2}\geq \frac{1}{n^{m}}\left ( \sum_{i=1}^{n}a_{i} \right )^{m}=\left ( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i} \right )^{m}$

$\bigstar$ Nếu $m$ lẻ ta có:

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{m}=\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}^{m+1}}{n.a_{i}}\geq \frac{1}{n.\sum_{i=1}^{n}a_{i}}\left ( \sum_{i=1}^{n}\sqrt{a_{i}^{m+1}} \right )^{2}\geq \frac{1}{n^{m}\sum_{i=1}^{n}a_{i}}\left ( \sum_{i=1}^{n}a_{i} \right )^{m+1}=\frac{1}{n^{m}}\left ( \sum_{i=1}^{n}a_{i} \right )^{m}=\left ( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i} \right )^{m}$

Em không hiểu cách giải cho lắm, anh có thể giải bằng quy nạp được không, bài này nằm phần bài tập quy nạp của em